14.3. ФУНКЦИИ УОЛША

Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники.

Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются из синусоидальных функций с помощью соотношения

(14.19)

где аргумент есть безразмерное время, т. е. время, нормированное к произвольному интервалу , а целое положительное число k — порядок функции. Символом (сигнум-функция) обозначается функция

(14.20)

В соответствии с (14.19) и (14.20) функции Радемахера, принимающие одно из двух значений ± 1, имеют вид меандра (рис. 14.8).

Рис. 14.8. Первые четыре функции Радемахера

Функции Радемахера ортонормированы (см. § 2.2) с единичной весовой функцией на интервале . Действительно, для любых двух функций имеют место соотношения

Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналов s (0), четных относительно момента . Иными словами, система функций Радемахера — неполная (см. § 2.2).

Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис. 14.9. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.8) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения

Нетрудно также проверить правильность соотношений

Итак, каждая функция Уолша, за номером w, входящая в систему из функций, является произведением степеней первых функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 на примере .

В таблице использованы следующие обозначения: — номер функции в системе (в десятичном счислении); разряд представления числа w в двоичной системе счисления, т. е.

(14.21)

Рис. 14.9. Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных способах упорядочения

Таблица 14.1

В выражении (14.21) — число разрядов, может принимать одно из двух значений — нуль или единица, равно нулю по определению.

Символ обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам

(14.22)

Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого в виде следующего соотношения:

(14.23)

Поясним применение (14.23) на примере шестой функции Уолша входящей в систему размером . Произведение в (14.23) состоит из трех множителей вида

Подстановкой в левую часть (14.21) и получаем

откуда следуют равенства

Таким образом,

и по формуле (14.23)

Из рис. 14.9 видно, что четным относительно середины интервала определения функциям соответствуют четные номера нечетным функциям — нечетные номера. Такое взаимно-однозначное соответствие между четностью функций и четностью их номеров аналогично свойствам тригонометрических функций (рис. 14.10).

Поэтому иногда применяются обозначения для четных и для нечетных функций Уолша. Легко проверить, что функции связаны с функциями следующими соотношениями:

Эти обозначения указаны в таблице на рис. 14.9.

Функции Уолша ортонормированы на интервале .

(14.24)

Функции Уолща обладают свойством мультипликативности, т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию Уолша, причем

(14.25)

Функции Уолша обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно i справедливы также и относительно 0.

Например, свойство мультипликативности (14.25) с учетом свойства симметрии запишется в виде

(14.26)

Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка , так как в результате получаются только произведения вида (+1)(+1) и (-1) (-1). Таким образом,

Очевидно также, что умножение на не изменяет функцию .

Функции Уолша иногда определяют на интервале . Первые восемь функций на указанном интервале представлены на рис. 14.11.

Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) представления сигналов.

Рис. 14.10. Четность номеров косинусоидальных и нечетность номеров синусоидальных функций

Рис. 14.11. Первые восемь функций Уолша на интервале

Рис. 14.12. Генератор первых восьми функций Уолша

Любую интегрируемую на интервале функцию можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша

(14.27)

с коэффициентами 1

(14.28)

Вне полуоткрытого интервала [0,1) ряд (14.27) описывает периодическую функцию , где k — любое целое число.

Некоторые особенности разложения непрерывных функций по системе Уолша иллюстрируются в § 14.5 на примерах.

Как уже ранее отмечалось, функции Уолша, широко используемые в задачах вычислительной техники, могут быть легко реализованы с помощью ключевых схем. Один из возможных вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на рис. 14.12.

Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе основан на выражении (14.22), т. е. на перемножении степеней трех функций Радемахера: . Функция получается непосредственно от генератора меандрового колебания. Вторая функция получается из удлинением периода этого колебания в 2 раза. Это достигается с помощью триггера со счетным входом (на рис. 14.12 изображен D-триггер в счетном режиме запускаемого фронтом каждого периода меандра. Аналогичным способом из получается функция . Таким образом, на выходах триггеров получаются функции Радемахера, смещенные по уровню на положительную величину , т. е.

Указанные смещенные функции соответствуют функциям Уолша (также смещенным). Для получения остальных функций Уолша используются сумматоры по модулю 2 (на рис. 14.12 обозначены ) с инверсными выходами. Подобные сумматоры представляют собой устройство совпадения, которому соответствует следующая таблица истинности:

Легко убедиться, что при подаче на сумматор функций и на выходе получается функция Уолша т. е. эффект, эквивалентный перемножению соответствующих функций и (см. табл. 14.1).

Аналогично при объединении в сумматоре функций имеем и т. д.

Для получения несмещенных функций Уолша, которые могут принимать значения , используются коммутаторы на операционных усилителях (с большим коэффициентом усиления для сокращения длительности фронтов). На инвертирующие входы усилителей задается смещающее напряжением, выбираемое из интервала . Если поступающее с сумматора напряжение , то на выходе коммутатора возникает напряжение , при — напряжение — Е, что соответствует функции wal (1, 0), wal (3, 0) и wal (7, 0) получаются без обращения к сумматорам.