14.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА

Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых полиномов и кратко рассмотрим их свойства.

1. Полиномы Лежандра (первого рода), определяемые формулой

ортогональны с весом на интервале — . При целых полиномы содержат конечное число членов.

Полиномы Лежандра низших степеней, графически представленные на рис. 14.1, определяются выражениями

Квадрат нормы функции в соответствии с формулой (14.4) [32,331 1

Выражение (2.9) для коэффициентов принимает при этом форму

в ряд (2.8)

2. Полиномы Чебышева (первого рода) определяются как

Полиномы Чебышева низших степеней

На рис. 14.2 представлены графики полиномов на интервале а на рис. 14.3 - одного из них, в частности четвертого порядка, при При стремится к бесконечности как

Рис. 14.1. Графики полиномов Лежандра

Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что из всех многочленов степени со старшим коэффициентом, равным единице, они наименее уклоняются от нуля на отрезке

Рис. 14.2. Графики полиномов Чебышева

Благодаря этому свойству полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на интервале .

Полиномы Чебышева не ортогональны, но после умножения на они образуют ортогональную в интервале систему функций . Иными словами, полиномы ортогональны с весом

(14.10)

Кроме того, при

(14.10)

Таким образом, норма

При разложении функции по полиномам Чебышева (с учетом ) коэффициенты ряда

должны определяться в соответствии с (14.2) и (14.10), (14.10) следующими выражениями:

Поведение полиномов Чебышева в интервале — в сочетании с неограниченным возрастанием при делает эти полиномы очень эффективными для аппроксимации АЧХ различных фильтров.

Рис. 14.3. График полинома Чебышева четвертого порядка

Этот вопрос рассматривается в гл. 15.

3. Полиномы Лагерра определяются формулой

Первые четыре полинома:

Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси с весом

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при функций, удобнее пользоваться функциями Лагерра

(14.13)

При этом функции Лагерра ортогональны с единичным весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при Норма функции

поэтому при разложении функции по функциям Лагерра коэффициенты ряда

должны определяться по формуле

(14.15)

Рис. 14.4. Функции Лагерра

Рис. 14.5. Генератор функций Лагерра

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в значительной степени объясняется простотой их генерирования. Дело в том, что функция по форме совпадает с импульсной характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения простых звеньев (рис. 14.5). Для определения передаточной функции требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции Лагерра (14.13), предварительно заменив в (14.12), (14.13) переменную новой переменной

Функции времени соответствует изображение , а -кратному дифференцированию — умножение изображения на . Учитывая также, что умножение на дает сдвиг на p-плоскости на приходим к следующему изображению для функции Лагерра:

Передаточная функция первого звена реализуется интегрирующей RC-цепью, отвечающей условию Передаточная функция соответствует мостовой схеме при .

Действительно, непосредственно для мостовой схемы одного звена (см. рис. 14.5)

откуда

При возбуждении цепи (см. рис. 14.5) дельта-функцией колебание на выходе первого звена будет , а на выходах последующих звеньев соответственно и т. д.

Взвешенное суммирование всех этих колебаний дает на выходе сумматора колебание

где коэффициенты определяются выражением (14.15).

4. Полиномы Эрмита определяются формулой

(14.16)

Первые пять полиномов Эрмита:

Графики этих полиномов представлены на рис. 14.6.

Полиномы Эрмита ортогональны с весом на всей <эС так что

Таким образом, норма функции

Для перехода к ортонормированной системе полиномов Эрмита вводят функцию

(14.17)

При этом разложение функции по нормированным функциям Эрмита записывается в форме

где

(14.18)

Графики нормированных функций приведены на рис. 14.7.

Из приведенного перечисления видно, что ортогональные системы функций можно разбить на два класса: 1) системы, определенные на конечном интервале (полиномы Лежандра и Чебышева); 2) системы, определенные на бесконечном интервале, представляющем собой полуось (полиномы Лагерра) или всю ось (полиномы Эрмита). Для аппроксимации процессов и характеристик, определенных на конечном интервале, естественно применять ортогональные системы первого класса. Для функций , заданных в бесконечном интервале, целесообразно применять системы второго класса.

При выборе полиномов важное значение имеет вид весовой функции соответствующей тому или иному виду полинома. Этот выбор должен быть тесно увязан с характером аппроксимируемой функции : весовая функция должна достигать максимума на участке, где требуется наилучшая аппроксимация.

Рис. 14.6. Графики полиномов Эрмита

Рис. 14.7. Графики нормированных функций Эрмита

При этом появляется возможность уменьшения числа членов ряда при заданной допустимой ошибке аппроксимации. Выбором весовой функции можно также осуществить аппроксимацию процессов конечной длительности полиномами второго класса (определенными на бесконечном отрезке). Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность весовой функции была близка к длительности аппроксимируемого сигнала.