16.5. КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ. КЕПСТР МОЩНОСТИ

Исторически понятие «кепстр» было определено выражением 1

(16.19)

где — амплитудный спектр континуального сигнала

Поскольку имеет смысл спектральной плотности энергии сигнала (см. § 2.9), то истолковывается как энергетический спектр функции .

Но из (16.19) очевидно, что аргумент q этого «спектра» имеет размерность времени, а не частоты. Этим и объясняется распространение термина «кепстр», который образован перестановкой букв в термине «спектр». (В зарубежной литературе аргумент называют «quefrency», что по-русски выглядит как «частота».)

Хотя q имеет размерность времени, это особое, кепстральное время, поскольку в любой момент q зависит от функции , заданной при —

Определяемый выражением (16.19) кепстр принято называть кепстром мощности Фазо-частотная характеристика спектра не учитывается (в § 16.9 будет рассмотрен «комплексный кепстр»).

Кепстры мощности получили распространение при анализе сигналов, представляющих собой свертку двух функций времени, таких, что после преобразования по алгоритму (16.19) образуются неперекрывающиеся на оси q импульсы. В подобной ситуации фазовый спектр составных функций, образующих свертку сигналов может не приниматься во внимание.

Следует отметить, что выражение (16.19) имеет смысл не для любого сигнала . Действительно, для сигнала с конечной энергией выполняется условие из которого следует, что при . Но тогда при обращается в бесконечность и интеграл расходится.

Это противоречие в некоторых практических задачах обходят заменой пределов интегрирования граничными частотами ± согр, в пределах которых заключена основная доля энергии сигнала и значение функции ограничено.

Проиллюстрируем применение кепстра мощности следующем примере. Пусть задан сигнал на выходе линейного тракта и требуется получить информацию об исходном сигнале действующем на его входе, а также об импульсной характеристике самого тракта. Связь между тремя перечисленными функциями времени определяется сверткой

Подобная задача возникает при анализе сейсмических процессов, при использовании радиолокационных методов определения характеристик среды распространения, при анализе сигналов речи и т. д.

В частности, при разработке электронных синтезаторов речи под подразумевается сигнал, о котором известно лишь, что его спектральная плотность заключена в некоторой полосе сотах, а форма АЧХ характеризуется периодической изрезанностью, однако период пульсации (на оси частот), а также амплитуда пульсации подлежат определению. Об импульсной характеристике речевого тракта только известно, что ее продолжительность мала по сравнению с Т, так что передаточная функция тракта изменяется плавно по сравнению с пульсацией

Результаты обработки сигнала по схеме на рис. 16.9 показаны на рис. 16.10.

Рис. 16.9. Определение кепстра мощности континуального сигнала по алгоритму (16.19)

Рис. 16.10. Логарифмы функций (а) и соответствующие им кепстры (б)

После фурье-преобразования, определения квадрата модуля спектра, а также логарифмирования получаются функции , примерный вид которых представлен 1 на рис. 16.10, а.

Функции , изменяющейся с периодом соответствует кепстр в виде пика на частоте Т, медленному же изменению функции соответствует кепстр в виде импульса, расположенного вблизи точки (область малого кепстрального времени).

Таким образом можно выявить основную частоту 1/Т, а также получить некоторую информацию о форме АЧХ речевого тракта.

В отличие от рассмотренной выше упрощенной модели со строго периодической пульсацией спектра и с постоянной (во времени) передаточной функцией при обработке реальных сигналов речи приходится иметь дело с «квазипериодическим» процессом, частота которого изменяется во времени. То же относится к функции . Путем усреднения спектров по большому числу отрезков реализаций, в пределах которых функции практически неизменны, удается выявить средние частоты и параметры тракта, необходимые для синтеза звуков речи.

Составим теперь выражение для кепстра мощности цифрового сигнала.

Основываясь на выражении (16.17), представим кепстр мощности дискретного сигнала в форме

(16.20)

или в эквивалентной форме [см. (12.28)]

(16.20)

Вычисление как правило, производится с помощью БПФ. Для осуществления преобразований, эквивалентных алгоритму (16.20), поступим следующим образом. Подвергнем входной сигнал s(t) дискретному преобразованию Фурье по формуле (12.14):

(16.21)

в результате чего получим N спектральных коэффициентов входной последовательности .

В § 12.6 было показано, что совпадает со значением в точке , лежащей на окружности единичного радиуса:

Рис. 16.11. Определение кепстра мощности свернутого сигнала (цифрового)

Переходя к модулям и логарифмируя, получаем N чисел вида .

Применив, наконец, ОДПФ

(16.22)

найдем кепстр мощности сигналов.

Алгоритм перечисленных выше преобразований представлен на рис. 16.11.

Вычисление кепстра мощности дискретного сигнала будет рассмотрено в следующем параграфе.