8.18. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПО ЗАДАННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

В предыдущих параграфах настоящей главы изучалось воздействие сигналов на нелинейные элементы — безынерционные или энергоемкие — с последующим выделением полезных спектральных составляющих с помощью избирательной линейной цепи (см. функциональные схемы на рис. 8.13 и 8.14). В ряде задач желательно проведение прямого анализа, основанного на интегрировании уравнения цепи, содержащей нелинейный элемент.

Математическое уравнение, описывающее систему, моделируется на ЭВМ — аналоговой или цифровой. Сначала строится аналоговая структурная схема моделирования. Дискретизацией сигнала и дифференциального уравнения системы результаты аналогового моделирования нетрудно затем преобразовать в алгоритм моделирования на цифровой ЭВМ.

Рис. 8.51. Линейный четырехполюсник

Рис. 8.52. Структурная схема моделирования уравнения (8.109)

Моделирование дифференциального уравнения проиллюстрируем сначала на примере линейной цепи, показанной на рис. 8.51. Напряжение (в операторной форме) на выходе цепи

Перепишем это выражение в форме

(8.107)

Учитывая, что умножение на эквивалентно дифференцированию , а умножение на эквивалентно двухкратному дифференцированию, приходим к следующему дифференциальному уравнению:

(8.108)

Решим это уравнение относительно наивысшей производной:

(8.109)

Уравнению (8.109) соответствует схема на рис. 8.52. Основными элементами этой схемы являются интеграторы на операционных усилителях, сумматоры и умножители на число. Выходы интеграторов и и и характеризуют состояние системы в рассматриваемый момент времени t с учетом начальных условий, т. е. состояния в момент времени , а также с учетом действия входного сигнала на интервале от до . В этом смысле выходы интеграторов и и и называют переменными состояния, а основанный на них способ интегрирования дифференциальных уравнений называют методом переменных состояния (МПС).

По существу, представленное на рис. 8.52 устройство, основанное на применении интеграторов, решает заданное дифференциальное уравнение (8.108) и определяет реакцию цепи (см. рис. 8.51) на воздействие .

Принцип построения схемы, описанный выше, можно применить и для моделирования нелинейной системы.

В качестве иллюстрации построим схему, соответствующую нелинейному дифференциальному уравнению (8.81), которое запишем в форме

Схема представлена на рис. 8.53. Дополнительно к двум интеграторам и сумматору потребовался функциональный блок, осуществляющий операцию возведения в куб функции .

Определение реакции нелинейных цепей на заданное воздействие решением дифференциального уравнения требует, как правило, больших вычислительных затрат. Задача упрощается, если рассматриваемая нелинейная система допускает дискретное представление процессов, происходящих в отдельных ее элементах, как линейных, так и нелинейных. Такое положение имеет место, в частности, если нелинейные элементы являются безынерционными. В подобных случаях открывается путь к эффективному цифровому моделированию.

Покажем это на примере моделирования простого амплитудного детектора (см. рис. 8.24). Вольт-амперную характеристику диода представим в виде нелинейной функции

(8.111)

где — напряжение, действующее на диоде.

Соотношение между токами в линейной части схемы определяется выражениями

откуда вытекает следующее нелинейное уравнение:

или

(8.112)

Это уравнение моделируется аналоговой структурной схемой, представленной на рис. 8.54. На выходе сумматора I образуется разность , которая после нелинейного преобразования в диоде дает ток , т. е. первое слагаемое в правой части (8.112).

Нелинейное безынерционное преобразование (8.111) легко реализуется в ЭВМ. Функция может быть задана либо в виде таблицы (например, по экспериментальным данным), либо аналитически. В первом случае таблица должна храниться в памяти ЭВМ, во втором случае вычисление значений производится по программе, ответствующей аналитическому выражению.

Рис. 8.53. Структурная схема моделирования уравнения (8.112)

Переходя к дискретному моделированию, задаем шаг Т исходя из наивысшей частоты в спектре входного сигнала , руководствуясь правилами, изложенными в § 2.17.

Рис. 8.54. Структурная схема моделирования уравнения (8.112)

Таким образом, входящие в уравнение (8.112) величины должны быть заменены соответственно, на .

Для перехода от дифференциального уравнения (8.112) к эквивалентному ему разностному уравнению воспользуемся соответствием

(8.113)

которое имеет смысл при условии достаточной малости Т.

Тогда уравнение (8.112) принимает вид

или

(8.114)

где

Уравнению (8.114) соответствует схема, представленная на рис. 8.55, а, а общая аналоговая схема (см. рис. 8.54) после перехода к дискретной обработке принимает вид, показанный на рис. 8.55, б.

Из сопоставления аналоговой и дискретной схем следует, что звено с задержкой Т в кольце обратной связи для разностного уравнения аналогично интегратору для дифференциального уравнения. Характеристики и свойства подобных устройств обсуждаются в § 12.8.

Моделирование рассматриваемой цепи целесообразно в тех случаях, когда аналитическое решение затруднительно или даже невозможно. Подобная ситуация имеет место, например, при детектировании относительно коротких радиоимпульсов, когда в пределах длительности импульса укладывается всего лишь несколько периодов высокочастотного заполнения и условие (8.56) оказывается невыполнимым (см. § 8.9).

Пусть, например, средняя частота заполнения (промежуточная частота в обычном радиоприемнике), а длительность импульса

Рис. 8.55. Дискретный вариант схемы, представленной на рис. 8.54

Постоянная времени нагрузки детектора RC приравнена длительности импульса: .

Режим детектирования близок квадратичному (отсечка тока отсутствует), так что спектр тока приблизительно вдвое шире спектра входного сигнала . Шаг дискретизации зададим (восемь отсчетов на один период ).

При указанных данных параметр и коэффициенты в выражении (8.114) будут:

Вычисление на ЭВМ по алгоритму (8.114) позволяет выявить форму сигнала на выходе детектора при любой форме огибающей импульса на входе, а также при любом законе угловой модуляции заполнения импульса.