2.10. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на примерах, важных для практики.

1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС

Простейшее колебание, определяемое выражением

и представленное на рис. 2.14, а, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14, б)

Заметим, что произведение , равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при [см. (2.55)].

Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме

Здесь через обозначена функция

При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции увеличивается (расширение спектра), а значение уменьшается. В пределе при точки соответствующие двум первым нулям функции , удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от до

На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля , отнесенного к величине и аргумента в спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как АЧХ, а второй — как ФЧХ спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на .

Рис. 2.14. Прямоугольный импульс (а) и его спектральная плотность (б)

Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса

Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса

При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) ФЧХ спектра импульса должна быть дополнена слагаемым , учитывающим сдвиг импульса на время (в сторону запаздывания). Результирующая ФЧХ принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией.

2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС

Представленный на рис. 2.17, а импульс определяется выражением

Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.48) хотя и несложно, все же несколько громоздко.

Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных в предыдущем параграфе, найдем сначала спектральную плотность функции, являющейся производной от заданного сигнала . График производной показан на рис. 2.17, б. Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса длительностью и амплитудой по аналогии с формулой (2.68) и с учетом сдвига середины импульса на время относительно точки

Рис. 2.17. К определению спектральной плотности треугольного импульса

Спектральная плотность отрицательного импульса, показанного на рис. 2.17, б, соответственно

Суммарная спектральная плотность двух импульсов

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции , получается делением предыдущего выражения (2.72) на [см. (2.60)]:

Множитель — площадь треугольного импульса. График представлен на рис. 2.17, в. Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально , а не как в случае прямоугольного импульса. Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматриваемой функции. Аналогичная картина была отмечена в § 2.4 при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов.

Обобщение этого важного вопроса, основанное на использовании аппарата дельта-функций, дается в § 2.13.

3. КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ИМПУЛЬС (РИС. 2.18, а)

Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей, называется также гауссовским импульсом. Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса равна .

Применяя выражение (2.48), получаем

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

где величина d определяется из условия

Рис. 2.18. Колоколообразный (гауссовский) импульс (а) и его спектральная плотность (б) откуда

Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду

Переходя к новой переменной , получаем

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен окончательно получаем

где

График этой функции изображен на рис. 2.18, б.

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне от максимального значения, равна , а коэффициент .

Гауссовскому спектру

соответствует гауссовский импульс

с длительностью и амплитудой .

Очевидно, что чем меньше длительность импульса тем шире спектральная полоса

4. ИМПУЛЬС ВИДА SINC(x)

На рис. 2.19, а изображен импульс, определяемый выражением

Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством взаимной заменяемости и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7 § 2.8).

Из рис. 2.14 очевидно, что после замены на t и t на заданной функции будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень.

Рис 2.19. Импульс вида (а) и его спектральная плотность (б)

Для этого сопоставим абсциссу на рис. 2.19, а с аналогичной абсциссой на рис. 2.14, б. Очевидно, что при замене t на (или наоборот) в данном примере необходимо исходить из соответствия откуда следует, что и есть искомая ширина спектра .

Уровень спектра, равномерный в полосе — , проще всего определить по его значению в точке , для которой равно площади импульса [см. (2.55)]:

Итак, окончательно

5. ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЩИХ ИМПУЛЬСОВ

Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20) обозначим через . Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением для третьего импульса и т. д.

Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность

При частотах, отвечающих условию , где k — целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно,

Таким образом, при частотах модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса.

Рис. 2.20. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов

Рис. 2.21. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов

Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными

При частотах же а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве иллюстрации на рис. 2,21, а изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.21, б — из четырех при интервале между соседними импульсами . Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при принимает линейчатую структуру спектра периодической функции (см. рис. 2.12).