8.14. РЕЗОНАНС В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ ЕМКОСТЬЮ

Широкое распространение получили электронные способы управления резонансной частотой колебательной системы с помощью варикапа, подключаемого к основной емкости контура.

Рассмотрим некоторые особенности резонансных явлений в контуре, у которого и L линейные (и постоянные) элементы, а — нелинейная, зависящая от напряжения емкость. В контур включен источник гармонической ЭДС амплитуда Е поддерживается неизменной, а частота медленно изменяется, как это обычно делается при снятии резонансной характеристики контура.

Исходим из дифференциального уравнения

Переходя от тока i к заряду q и учитывая, что а напряжение на емкости переписываем уравнение (8.78) в форме

Заметим, что нелинейная емкость является функцией и q. Поэтому слагаемое можно представить в виде нелинейной функции а дифференциальное уравнение можно записать в виде

где

В отсутствие нелинейности функция должна обращаться в — , где . Поэтому функцию удобно аппроксимировать выражением

где параметр, учитывающий нелинейность вольт-кулонной характеристики конденсатора при больших амплитудах.

Выбор такой аппроксимации, значительно упрощающей анализ нелинейного уравнения, не снижает существенно общности выводов (по крайней мере, качественных).

Подставляя (8.80) в (8.79), приходим к уравнению

Нас интересует амплитуда заряда при заданной частоте в установившемся режиме. Поэтому задача сводится к отысканию периодического решения уравнения (8.81). Следует, однако, иметь в виду, что благодаря нелинейному характеру этого уравнения возможны периодические решения как с частотой внешней силы так и с частотами (гармоники) или (субгармоники); — любое целое положительное число.

Если затухание контура мало (добротность велика), а резонансная частота близка к частоте внешней силы, то в первом приближении решение уравнения (8.81) можно искать в виде гармонического колебания

где А и — подлежащие определению амплитуда и фаза (постоянные) заряда.

Подстановка (8.82) в (8.81) приводит к следующим двум уравнениям:

Слагаемое с частотой За» было отброшено вследствие высокой избирательности контура.

Исключая далее из уравнений (8.83), (8.84) фазу [поскольку нас интересует зависимость приходим к выражению

содержащему искомую зависимость между амплитудой А и частотой о) при заданных а и Е.

Прямое решение этого уравнения относительно А затруднительно, так как искомая амплитуда входит в него в шестой степени. Поэтому можно поступить следующим образом; задаваясь амплитудой А, находим соответствующую частоту внешней силы , после чего строим график функции откладывая на оси абсцисс, а на оси ординат.

Имея в виду такую последовательность вычислений, решаем уравнение (8.85) относительно :

Заметим, что при а также при очень малых , т. е. когда нелинейность контура не проявляется, уравнение (8.85) приводит к обычному решению для амплитуды :

С увеличением характер резонансных кривых изменяется. В зависимости от амплитуды внешней ЭДС Е уравнение (8.86) определяет семейство кривых, изображенных на рис. 8.47. Амплитудные кривые «запрокидываются», и тем сильнее, чем больше Е.

Это явление можно объяснить изменением среднего значения нелинейной емкости в зависимости от . Действительно, из аппроксимации (8.80) вытекает следующее выражение:

Подставив (8.82), получим (при )

Рис. 8.47. Резонансные кривые контура с нелинейной емкостью (при )

Рис. 8.48. Двузначность АЧХ колебательного контура с нелинейной емкостью

В результате усреднения правой части по времени

С увеличением А средняя емкость уменьшается (при ) и соответственно увеличивается резонансная частота контура. При постепенном повышении частоты ЭДС, при приближении к (участок 1—2 на рис. 8.48) из-за увеличения А резонансная частота «уходит» от , чем и объясняется сдвиг максимума вправо. В точке в которой касательная к кривой вертикальна, скачком переходит на нижнюю ветвь кривой. При понижении частоты со наблюдается аналогичная картина, только в обратном порядке: скачок в сторону увеличения амплитуды наблюдается в точке II после монотонного изменения амплитуды на участке 4.

Таким образом, в области (для имеется участок 2—3, на котором функция двузначна. Это указывает на существование неустойчивости одного из состояний системы. Явление, подобное описанному, имеет место и при других формах нелинейной зависимости Различие, лишь в количественных соотношениях.

Для варикапа Поэтому резонансные кривые в отличие от рис. 8.47 наклонены в сторону нижних частот. Если контур настроен на частоту, близкую к где — целое число, то создаются условия, благоприятные для выделения субгармоник. Подобный прием иногда используется для осуществления деления частоты.

В тех случаях, когда требуется по возможности точно определить амплитуду и фазу периодического решения нелинейного уравнения (8.82) с учетом гармоник и субгармоник, применяются различные методы анализа, основанные на принципе последовательного приближения.