Приложение 5. О НЕОДНОЗНАЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРА СИГНАЛА

Этот вопрос относится к ряду разделов данной книги. При определении коэффициентов ряда Фурье периодического сигнала [формула (2.25)] можно было написать

подразумевая под — «главное значение аргумента» в интервале Наряду с этим при определении выражением (2.27) можно было написать

поскольку главное значение заключено в пределах

Аналогичные вопросы связаны с определением ФЧХ спектральной плотности непериодического сигнала:

[формулы (2.50) и (2.53)].

Неоднозначность определения ФЧХ проявляется при измерении фазы. Известно, что измерение фазы колебания основано на сравнении ее с фазой опорного колебания.

Но «разность фаз» можно однозначно определить только в пределах ± 180°, хотя истинная разность фаз может при этом достигать сотен и даже тысяч радиан (например, в случае ЛЧМ-сигнала). Поэтому принято выражение «определение фазы по модулю .

Однако такой подход в некоторых задачах неприемлем, например, при определении групповой задержки (запаздывания) сигнала в физических цепях, используемых для формирования сигналов. Известно, что групповая задержка определяется как производная ФЧХ. При этом имеется в виду истинная ФЧХ, без отбрасывания целого числа . В физических цепях задержка сигнала является конечной величиной, из чего следует, что есть непрерывная функция. На этом свойстве ФЧХ основан метод логарифмической производной спектральной плотности (см. гл. 16, с. 490), позволяющий определить истинную ФЧХ сигнала.

Проиллюстрируем этот метод сначала на простом сигнале со спектральной плотностью . Подобный сигнал будем рассматривать как импульсную характеристику апериодического звена.

Отказываясь от представления спектральной плотности в форме с определением сначала определим с помощью выражения (16.47)

подставив в него

Тогда

Поскольку , то очевидно, что , т. е. ФЧХ спектра

Этот результат получен обращением непосредственно к комплексной спектральной плотности без выделения ее модуля и аргумента. Приведенный вывод основан на условии непрерывности функции [что необходимо для дифференцируемости ], ее нечетности, а также на задании на одной из частот (в данном примере на . Поэтому определенная выражением функция является однозначной в пределах

В рассмотренном примере не было необходимости прибегать к логарифмической производной, поскольку ФЧХ не выходит за пределы . Продолжим поэтому пример на случай трех идентичных развязанных звеньев с импульсной характеристикой, спектральная плотность которой а ФЧХ заключена в пределах . Повторяя предыдущие рассуждения, придем к результату хотя прямые измерения не могут дать более .

В тех случаях, когда ФЧХ спектра задана аналитически в виде непрерывной функции , вопрос о выделении «главной части аргумента» вообще не возникает (как, например, в случае ЛЧМ-импульса с ФЧХ в виде квадратичной параболы).

Вопрос о неоднозначности ФЧХ приобретает особое значение при цифровой обработке сигнала, когда дискретные отсчеты фазы производятся «по модулю ». Способы восстановления истинной ФЧХ рассматриваются в § 16.10.