7.6. ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Как отмечалось в § 7.1, при негауссовском случайном процессе на входе отыскание закона распределения на выходе инерционной цепи является сложной задачей, не имеющей прямого решения. Существуют лишь приближенные методы решения, связанные с большими вычислительными трудностями.

Один из таких методов основан на использовании характеристических функций случайного процесса и известных соотношений между характеристической функцией и моментами распределения процесса.

В теории вероятностей под характеристической функцией случайной величины или характеристической функцией данного распределения подразумевается среднее значение функции , т. е.

(здесь — вещественная переменная).

При заданной плотности вероятности среднее значение величины можно определить с помощью выражения

Правая часть этого выражения есть не что иное, как преобразование Фурье функции .

Следовательно, если известна характеристическая функция какой-либо случайной величины то плотность вероятности можно найти с помощью обратного по отношению к (7.45) преобразования Фурье

(7.46)

В частности, для нормального закона распределения

характеристическая функция в соответствии с (7.45)

С помощью преобразований, аналогичных (2.75) и (2.77), получаем

Таким образом, при нормальном распределении график характеристической функции относительно имеет такую же форму, как и график плотности вероятности относительно . Поэтому о степени приближения распределения какой-либо случайной величины к нормальному можно судить по тому, насколько характеристическая функция рассматриваемой величины приближается к функции, определяемой выражением (7.47).

Характеристическая функция полностью определяется моментами случайного процесса и может быть представлена рядом

где моменты порядка определяются [см. (4.3) для ] выражением

Знание моментов распределения позволяет найти характеристическую функцию , а по ней и функцию распределения.

Вычисление по формуле (7.48) оказывается неприемлемо сложным для практики. Обычно довольствуются решением более простой задачи о преобразовании лишь нескольких моментных функций в линейной системе, которые дают косвенное представление об одномерной плотности вероятности случайного процесса на выходе. Поясним это на примере простого линейного преобразования дифференцирования случайного процесса х(t).

Найдем первые две моментные функции случайного процесса , т. е. процесса на выходе дифференцирующего устройства.

Математическое ожидание процесса

Операции осреднения и перехода к пределу перестановочны, поэтому можно написать

Следовательно, при дифференцировании случайной функции ее моментная функция первого порядка Также подвергается дифференцированию. Очевидно, что для стационарного случайного процесса первая моментная функция производной равна нулю.

Повторяя аналогичные рассуждения для моментной функции второго порядка процесса , можно получить (при условии стационарности процесса

где

К этому результату, совпадающему с (7.34), можно прийти более простым способом на основе спектральной плотности мощности процесса и передаточной функции цепи (для момента второго порядка).

Для более сложных цепей, осуществляющих различные линейные преобразования случайного процесса, широко распространен способ, основанный на стохастических дифференциальных уравнениях, и некоторые другие методы [14].

Приведем теперь пример задачи, когда использование характеристических функций оказывается весьма эффективным способом.

Пусть требуется найти плотность вероятности суммы некоторого числа взаимно независимых слагаемых

Характеристическая функция суммы имеет следующий вид:

т. е. характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Для частного случая, когда все слагаемые имеют одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые характеристические функции

Используем выражения (7.45), (7.46) для определения плотности вероятности суммы нескольких гармонических колебаний со случайными фазами. Амплитуды колебаний одинаковы и равны .

Основываясь на плотности вероятности гармонического колебания (4.25), находим характеристическую функцию

Подставляя и учитывая, что является нечетной функцией получаем (см. 3.753.2 в [28])

где — бесселева функция первого рода нулевого порядка.

Для отсчета, взятого из суммы N гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами 1/N, но со случайными взаимно независимыми фазами, характеристическая функция в соответствии с (7.53) будет

Амплитуда каждой из синусоид приравнена для того, чтобы дисперсия суммы, равная оставалась при увеличении числа синусоид неизменной.

На рис. 7.9 изображены характеристические функции для различных значений N. При функция быстро приближается к предельной кривой соответствующей нормальному распределению суммы.

Для отыскания плотности вероятности суммы N гармонических колебаний необходимо в соответствии с выражением (7.46) вычислить интеграл

При получается исходное выражение для одной синусоиды [формула (4.25)], а при функции ) имеют вид, показанный на рис. 7.10. Сплошной линией изображена функция при нормальном распределении

Рис. 7.9. Характеристические функции для суммы N гармонических колебаний со случайными фазами

Рис. 7.10. Плотность вероятности суммы N гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 7.11)

Полученные результаты показывают, что при суммировании хотя бы пяти-шести гармонических колебаний со случайными и взаимно независимыми фазами получается стационарный случайный процесс, близкий к гауссовскому.

Это справедливо для значений <эС VN (при При больших значениях в то время как при нормальном распределении отлично от нуля. Таким образом, при конечном числе слагаемых N на «хвостах» кривой распределения неизбежно расхождение между и