12.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ

При математическом описании дискретных последовательностей, а также дискретных цепей большую роль играет функция . Изображения по Лапласу временнйх процессов, а также передаточные функции цепей, в в которые входит , оказываются трансцендентными функциями , что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной z, связанной с соотношением

(12.17)

При такой замене указанные функции от преобразуются в рациональные функции от переменной z, благодаря чему упрощается представление их на плоскости z.

Преобразование плоскости в плоскость можно осуществлять с помощью следующих соотношений, связывающих координаты какой-либо точки на плоскости с координатами соответ-Ьтвующей точки на плоскости z (рис. 12.9):

(12.18)

В полярных координатах на плоскости

(12.19)

где m — любое целое число.

На рис. 12.10 представлены отображения некоторых характерных точек и областей из -плоскости на -плоскость. Точка переходит в точку на вещественной оси -плоскости. При движении точки -плоскости вдоль оси m (т. е. при о соответствующая ей точка -плоскости описывает окружность единичного радиуса. Один полный оборот радиуса-вектора соответствует изменению частоты со в интервале

При движении точки вдоль оси в пределах от до точка описывает бесконечно большое число окружностей. Таким образом, взаимно-однозначное отображение на z существует только для

Рис. 12.9. Соотношение между координатами точки на p-плоскости (а) и z-плоскости (б)

Рис. 12.10. Отображение точек и областей из p-плоскости на z-плоскость

Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу. Правая полуплоскость преобразуется во всю z-плоскость, исключая единичный круг.