16.9. КОМПЛЕКСНЫЙ КЕПСТР

В задачах, требующих не только определения задержки и относительного уровня отраженного сигнала, но и выявления формы сигналов, необходимо учитывать их фазовые характеристики. Поэтому при определении кепстра следует исходить из комплексной спектральной плотности сигнала, а не только из ее модуля (как в выражениях (16.20)-(16.28)).

Комплексный кепстр континуального сигнала определяется выражением

(16.39)

а дискретного сигнала — выражением

(16.40)

или эквивалентным ему выражением

(16.41)

Преобразования сигнала , приводящие к , представлены на рис. 16.7, а; аналогичные преобразования дискретного сигнала представлены на рис. 16.7, б.

Отмеченное в § 16.5 требование сходимости интеграла в выражении (16.9) относится также и к определению комплексного кепстра. Главной же особенностью комплексного кепстра является его зависимость от неоднозначного аргумента комплексного логарифма, так , где k — любое целое число.

Этот вопрос рассматривается в § 16.10. Можно, однако, привести большое число сигналов, для которых указанные затруднения не существуют. Это особенно относится к дискретным последовательностям, а также к сигналам, выраженным через дельта-функцию.

Например, для основного испытательного сигнала очевидны следующие равенства:

(16.42)

Таким образом, кепстр дельта-функции равен нулю. В данном случае кепстральное преобразование полностью подавляет дельта-функцию.

Кепстр той же функции, взятой с весом а, т. е. при

и

(16.43)

При весовой коэффициент а отрицателен, при — положителен. Пусть сигнал задан в виде последовательности

Тогда

а с учетом соотношения

(16.44)

Кепстр рассматриваемого сигнала содержит всего лишь один импульс задержанный (на оси q) на время

Приведем еще пример континуального сигнала вида

для которого спектральная плотность

Учитывая, получаем

Таким образом, отличается от только коэффициентом из чего следует, что кепстр рассматриваемого сигнала

В данном примере кепстральное преобразование не изменяет формы функции. Приведем еще пример сигнала вида

для которого спектральная плотность

Запишем это выражение в следующей эквивалентной форме:

От предыдущего примера отличается множителем соответствующим операции дифференцирования, а также заменой на а; следовательно, обратное преобразование Фурье, определяющее кепстр, дает