4.5. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В данном параграфе рассматриваются стационарные процессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами х(t) и у(t) оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражениями

Кроме того, имеются в виду эргодические процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение:

Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на одной из функций х(t) или у(t) заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства:

Из последних выражений вытекают следующие соотношения между , аналогичные выражениям (2.135) и (2.135):

Соотношения (4.49)-(4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций не обязательно четна относительно (см. § 2.18).

В итоге корреляция между значениями функций х(t) и у(t) в два различных момента времени, разделенных интервалом , задается корреляционной матрицей

где — корреляционные функции соответственно процессов

Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов х(t) и у(t) с нулевыми средними и требуется определить корреляционную функцию случайного процесса (при условии, что взаимные корреляционные функции стационарны).

Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48), получаем

Следовательно,

Если процессы x(t) и у(t) статистически независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет

В противном случае в зависимости от знака мощность процесса s(t) может быть больше или меньше суммы дисперсий

Для разности s(t)=х(t)-у(t) получается выражение, аналогичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом заменить минусом.

При независимости процессов дисперсия процесса , как и при суммировании, будет

Применим теперь к соотношение Винера—Хинчина (4.38):

В этом выражении

имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов х(t) и у(t).

В отличие от спектральных плотностей или , которые являются действительными функциями и не могут принимать отрицательные значения, взаимные спектральные плотности могут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что функции не обязательно четные относительно . Подстановка в (4.56) соотношения (4.51) приводит к равенству

откуда следует, что

Таким образом, выражение (4.55) можно записать в форме

выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плотности . Если случайные процессы статистически независимы, то и спектр суммы равен сумме спектров и, следовательно, мощность процесса равна сумме мощностей процессов

Если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то и, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного процесса . Очевидно, что при отрицательной действительной части средняя мощность суммарного процесса меньше,

Если то процессы являются независимыми, аддитивными (см. § 2.18).

В практике часто встречается случай суммирования процесса с процессом , т. е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12).

Составим матрицу (4.52) для процессов . В обозначениях (4.52) получаем

Рис. 4.12. К определению корреляционной функции суммы двух случайных процессов с одинаковыми энергетическими спектрами

Таким образом, корреляционная матрица процессов принимает вид

Найдем теперь корреляционную функцию процесса на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в (4.53) элементы матрицы , получим

Приравнивая находим дисперсию процесса

где — нормированная корреляционная функция процесса (напомним, что в данном примере

При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс перед слагаемым должен быть заменен минусом.

Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процесса что