9.8. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ АВТОГЕНЕРАТОРА

Итак, гармоническому движению системы соответствует замкнутая фазовая траектория на фазовой плоскости (эллипс). В более общем случае сложного периодического движения (не обязательно гармонического) фазовая траектория может иметь сложную форму, но она обязательно является замкнутой.

Автоколебательной системе с устойчивым стационарным состоянием на фазовой плоскости соответствует замкнутая кривая, к которой приближаются соседние фазовые траектории. Для выявления формы этой замкнутой интегральной кривой, а также характера этого приближения рассмотрим на фазовой плоскости всю картину установления автоколебаний, от запуска генератора до установления стационарного состояния.

В начале процесса система является линейной и описывается уравнением (9.8), совпадающим с уравнением (9.45). Для удобства вместо (9.9) будем исходить из уравнения

получающегося из нелинейного уравнения (9.38) при замене мак на и и пренебрежении величиной по сравнению с единицей. Напомним, что в этом уравнении

Так как при выполнении условия самовозбуждения положительно [см. (9.36)], соответствующая начальному этапу фазовая траектория имеет вид раскручивающейся логарифмической спирали (особая точка типа неустойчивого фокуса).

Когда с ростом амплитуды колебаний начинает проявляться нелинейность системы, увеличение радиуса спирали замедляется и в пределе (теоретически при ) фазовая траектория превращается в окружность с радиусом , равным стационарной амплитуде колебания.

Рис. 9.23. Фазовый портрет автоколебания при мягком режиме возбуждения

Если начальное положение изображающей точки задать вне окружности радиуса (точка В на рис. 9.23), то движение изображающей точки будет происходить по скручивающейся спирали (так как при отрицательно) до перехода на окружность радиуса

В силу устойчивости стационарного состояния автогенератора (в данном случае с мягким самовозбуждением) при любых начальных условиях изображающая точка переходит на окружность радиуса

Изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой с возрастанием t приближаются (по спирали) с внутренней и внешней стороны соседние фазовые траектории, называется предельным циклом. Устойчивость предельного цикла носит название орбитной или орбитальной устойчивости.

Легко представить себе, что в случае автогенератора с жестким режимом самовозбуждения к предельному циклу будут стягиваться только фазовые траектории, радиус которых больше некоторого критического значения, соответствующего амплитуде в точке D на рис. 9.11. Если начальные условия запуска автогенератора таковы, что начальная амплитуда меньше этого значения , то изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по скручивающейся спирали, постепенно приближаясь к началу координат, являющемуся в данном случае точкой устойчивого фокуса (рис. 9.24).

Допустим, что после установления стационарного режима в колебательный контур автогенератора каким-либо образом была введена дополнительная энергия, в результате чего амплитуда и фаза колебания получили мгновенные приращения: первая на величину , а вторая на угол . Отклонение изображающей точки от предельного цикла, соответствующее этому возмущению, выразится в переходе на спираль с радиусом и в изменение фазы колебания на (рис. 9.25).

Через некоторое время изображающая точка перейдет по скручивающейся спирали (штриховая линия на рис. 9.25) на предельный цикл, соответствующий стационарной амплитуде. Фазовый же сдвиг не компенсируется, так как в автогенераторе отсутствуют факторы, которые фиксировали бы начальную фазу колебания.

Рис. 9.24. Фазовый портрет автоколебания при жестком режиме возбуждения

Рис. 9.25. К вопросу об орбитальной устойчивости предельного цикла

В заключение отметим, что предельный цикл имеет форму круга при строго гармонической форме генерируемых колебаний. В действительности эта форма искажается наложением высших гармоник. В автогенераторах, близких к консервативным (с высокодобротной колебательной системой), влиянием гармоник можно пренебречь. В случае же генераторов релаксационного типа предельный цикл может иметь весьма сложную форму (например, близкую к прямоугольной).

Как отмечалось в предыдущем параграфе, для нелинейных систем фазовые траектории строятся с помощью графоаналитических методов (например, метода изоклин).