4.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ

Рассмотренные в § 2-2 способы разложения произвольных сигналов по заданной системе ортогональных функций можно вывести из общей теории линейных пространств, составляющей один из разделов высшей алгебры.

Действительно, пусть сигнал s(t) с конечной энергией Э представлен в виде обобщенного ряда Фурье (2.14):

Предполагается, что первые слагаемых ряда обеспечивают требуемую точность представления сигнала s(t).

В § 2.2 были установлены следующие соотношения между энергией Э, нормой функции s(t), обозначаемой и спектральными коэффициентами (действительного сигнала):

В этих выражениях обозначает интеграл по интервалу времени , а — норму базисной функции

Выражение (4.93) ничем не отличается от известного из векторной алгебры определения нормы вектора S в m-мерном линейном (векторном) пространстве. Это позволяет поставить в соответствие сигналу вектор S, проведенный из начала координат в соответствующую точку пространства. При этом слагаемое должно трактоваться как проекция вектора S на ось системы координат.

При использовании ортонормированной системы, когда выражение (4.93) принимает вид

В этом случае является нормой единичного вектора (орта), определяющего направление оси системы координат, а вектор сигнала можно записать в виде вектора-строки

В этом смысле можно говорить о пространстве, каждый элемент которого является вектором, представляющим определенный сигнал; можно также говорить, что каждая точка в пространстве сигналов, являющаяся концом вектора, проведенного из начала координат, соответствует определенному сигналу.

Длина вектора (норма), как это вытекает из (4.93), равна

Следовательно, всем сигналам с одинаковой энергией Э, независимо от их формы, соответствуют точки, расположенные на многомерной сфере радиуса .

Пространство сигналов является функциональным, поскольку каждый его элемент характеризуется не мгновенным значением , а некоторым функционалом от . К таким функционалам относятся, например, энергия сигнала и спектральные коэффициенты

Для иллюстрации понятия «пространство сигналов» удобна базисная функция вида (ряд Котельникова), когда коэффициентами ряда (4.91) являются отсчеты самого сигнала в моменты времени (см. § 2.15), так что выражение (4.94) принимает вид

Этот частный случай интересен тем, что координатами сигнальной точки (конца вектора S) в пространстве сигналов являются отсчеты сигнала в дискретные моменты времени

Множество функций , для которых норма (4.93) ограничена (сигналы с конечной энергией), называются пространством Если такие сигналы определены на интервале Т, то используется обозначение .

Для передачи сигналов по каналу с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение сигнальной точки в пространстве сигналов, а расстояние между точками, представляющими различные сигналы. Для выяснения смысла термина «расстояние между сигналами» воспользуемся известными свойствами скалярного произведения векторов.

Пусть имеются два вектора X, Y, заданные своими координатами, соответственно

Скалярное произведение (X, Y) определяется выражением

С другой стороны, (X, Y) желательно выразить через функции времени соответствующие векторам Y.

Из векторной алгебры известно соотношение

В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться подстановкой в (4.97)

После перемножения сумм получим два вида слагаемых: с одинаковыми и с разными индексами. В силу попарной ортогональности базисных функций слагаемые второго вида после интегрирования обращаются в нуль. Интегрирование слагаемых первого вида приводит к выражению (4.96).

Учитывая, что правая часть равенства (4.97) есть не что иное, как взаимная корреляционная функция детерминированных сигналов (при сдвиге [см. (2.134)], приходим к важному результату

Из этого соотношения следует, что если сигналы взаимно некоррелированны то соответствующие им векторы ортогональны

В частном случае Y — X выражение (4.98) дает равенство

т. е. квадрат нормы вектора X совпадает с определением корреляционной функции сигнала х(t) (при ).

На основе приведенных выше соотношений нетрудно определить расстояние между двумя сигнальными точками в пространстве сигналов как норму разностного вектора

Квадрат этой нормы в соответствии с (4.99) равен скалярному произведению вектора на вектор

Для скалярного умножения векторов верен распределительный закон, т. е.

Следовательно,

Рис. 4.20. К определению расстояния между двумя ортогональными сигналами

С учетом (4.98) и (4.99) получаем

где — «энергия взаимодействия».

Из (4.100) видно, что расстояние между сигнальными точками, соответствующими сигналам и , зависит как от энергии каждого из сигналов, так и от взаимной корреляционной функции

Известно, что скалярное произведение можно записать в форме

где — угол между векторами X и Y. Таким образом,

Используя формулы (4.98) и (4.99), записываем последнее равенство следующим образом:

(4.102)

Итак, расстояние между сигнальными точками и угол между соответствующими им векторами полностью определяются энергиями сигналов и энергией взаимодействия между ними.

Проиллюстрируем эти свойства на простых сигналах. На рис. 4.20, а изображены два отрезка косинусоидального колебания одинаковой длительности Т, но с различными (кратными) частотами. Энергии сигналов:

Оба сигнала представлены в m-мерном пространстве . Длительность сигналов равна целому числу периодов, так что взаимная корреляционная функция и, следовательно, сигналы ортогональны. Применяя формулу (4.100), находим

Вследствие ортогональности функций угол между векторами равен (см. (4.102)]. Положение сигнальных точек 1 и 2 (отмеченных кружками) в пространстве сигналов показано на рис. 4.20, б (положение точки 0 выбрано произвольно).

Рассмотрим теперь два сигнала с одинаковыми амплитудами и частотами, но с различными начальными фазами

Как и в предыдущем примере, Т равно целому числу периодов колебаний энергии одинаковы:

Взаимная корреляционная функция

Рассмотрим частные случаи .

Сигнальные точки 1 и 2 совпадают.

Из рассмотренного примера вытекает, что при заданной и одинаковой энергии двух сигналов любое различие в их форме не может увеличить расстояние между сигнальными точками более чем до (это вытекает также из того факта, что сигнальные точки при заданной энергии сигнала расположены на многомерной сфере радиуса ).

В заключение найдем смещение сигнальной точки, соответствующее сдвигу сигнала во времени на . Для этого требуется определить расстояние между сигналами

В данном случае

где — корреляционная функция сигнала

По формуле (4.100) находим

Если под подразумевается, например, импульс с длительностью , то при корреляционная функция Иными словами, неперекрывающиеся во времени сигналы ортогональны.

Применение к сигналам теории векторных пространств оказывается полезным, в частности, для синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции. Этот вопрос рассматривается в гл. 16.