14.4. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ НУМЕРАЦИИ ФУНКЦИЙ УОЛША

Способ нумерации функций в системе называется упорядочением. Функции Уолша, сформированные в соответствии с выражением (14.22), упорядочены по Уолшу.

В ряде практических задач целесообразно пользоваться иными способами упорядочения. Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Адамару и по Пэли

Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из функций, всегда можно представить в виде произведения степеней первых функций Радемахера. Принцип же нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения.

Остановимся более подробно на упорядочении по Адамару, получившем широкое распространение.

Функции можно сформировать с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара порядка называется квадратная матрица размера с элементами , такая, что

где — единичная матрица; — знак транспонирования.

Рис. 14.13. Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения. Размер базиса

Нормированную матрицу Адамара порядка N можно построить рекурсивно, т. е.

при (14.29)

Например,

Функция Уолша, упорядоченная но Адамару, т. е. had (h, 0) с номером h, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов h-й строки матрицы Адамара. Под длительностью импульсов подразумевается доля интервала [0,11.

Для иллюстрации связи между функцией и матрицей Адамара, а также для определения места этих функций в системе приведем матрицу Адамара для заменяя знаками соответственно плюс и минус:

Нумерация первых восьми функций Уолша при различных способах упорядочения дана в таблице на рис. 14.9, а для 16 функций в таблице на рис. 14.13. В этих таблицах указана также нумерация функций Уолша при упорядочении по Пэли.

Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают из свойства симметричности матрицы Адамара, заключающегося в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной: . Как видно из предыдущего, введенные упорядочения отвечают симметричности соответствующих им матриц.

Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли в Адамара исчерпываются все возможные упорядочения. Отмеченная в предыдущем параграфе ортонормированность функций Уолша сохраняется при любом способе их упорядочения.