11.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ

Прямое определение энергетического спектра выходного процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента не представляется возможным, Единственный путь — это определение корреляционной функции с последующим применением преобразования Фурье.

Если на входе нелинейного элемента с характеристикой у действует стационарный процесс х(t), то ковариационная функция на выходе может быть представлена в форме

где — значения в моменты времени t и — соответствующие им значения у на выходе нелинейного элемента.

Для усреднения произведения должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса . Если эта плотность вероятности известна, то ковариационную функцию можно представить в виде следующего выражения:

(11.10)

где для удобства записи через обозначены соответственно

Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех практически важных задачах. В связи с этим часто приходится прибегать к различным обходным способам, один из которых будет приведен далее.

В качестве примера задачи, достаточно интересной для практики и доступной для решения прямым методом, рассмотрим воздействие стационарного гауссовского процесса на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой (см. § 11.2, п.1).

Двумерная плотность вероятности процесса равна

где — коэффициент корреляции величин .

Подставив выражение (11.11), а также в (11.10), получим

Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив выражение до квадрата разности и заменив переменную :

Подставляя этот результат в (11.12), получаем

Далее определяем

Таким образом,

(11.13)

Здесь использовано известное соотношение [при .

Особый интерес представляет воздействие узкополосного случайного процесса на нелинейный элемент (задача детектирования).

Представляя корреляционную функцию узкополосного процесса в форме (4.76) и учитывая, что

(11.14)

где — огибающая корреляционной функции узкополосного процесса, записываем выражение (1.13) в окончательном виде

(11.15)

Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее выражение для спектра процесса на выходе квадратичного элемента (при гауссовском процессе на входе)

(11.16)

Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе — низкочастотной флуктуационной составляющей (спектр которой примыкает к нулевой частоте) и третье — высокочастотной флуктуационной составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты .