4.9. ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Пусть рассматривается стационарный случайный процесс с дисперсией заданный на Отрезке времени . Без утраты общности рассмотрения положим

При представлении ансамбля реализаций в пространстве каждой из реализаций можно поставить в соответствие свою сигнальную точку, отстоящую от начала координат на расстоянии (см. предыдущий параграф).

Энергия изменяется от одной реализации к другой случайным образом, а среднее значение (математическое ожидание) энергии Совокупность всех сигнальных точек образует сложную многомерную поверхность, тем больше отличающуюся от сферической, соответствующей среднему радиусу чем больше дисперсия случайной величины

Для оценки величины составим выражение для энергии реализации процесса

где m — число отсчетов, определяющих функцию на отрезке (см. § 2.15), а — отсчеты мощности (мгновенной) реализации в моменты времени .

Очевидно, что математическое ожидание случайной величины

а среднее значение квадрата в соответствии с (4.103)

Следовательно, искомая дисперсия

(4.104)

Для конкретности будем исходить из нормального распределения процесса , а также из условия взаимной независимости отсчетов . Тогда

и все слагаемые вида при в выражении (4.104) обращаются в нуль. Остаются слагаемые при число которых равно , а сами слагаемые имеют вид

При плотности вероятности

Таким образом, выражение (4.104) приводится к виду

Составим отношение

Рис. 4.21. Представление в многомерном пространстве сигналов смеси детерминированного сигнала и шумовой помехи при

Рис. 4.22. Представление двух ортогональных сигналов с шумовой помехой

Использование понятия пространства сигналов эффективно при больших базах сигнала m (сотни и тысячи). Из (4.105) видно, что при отношение настолько мало, что можно говорить о сосредоточении сигнальных точек в тонком сферическом слое радиусом и толщиной слоя около Таким образом, в многомерном пространстве сигналов случайный процесс, отвечающий оговоренным ранее условиям (стационарность, число независимых отсчетов в интервале Т, равное ), можно представить в виде «тонкостенного» шара с центром в начале координат.

При совместной воздействии сигнала (детерминированного) и помехи (случайного процесса) представление суммарного колебания в пространстве сигналов основывается на правилах векторного сложения (вычитания), изложенных в предыдущем параграфе (предполагается, что сигнал и помеха представлены одинаковым числом степеней свободы т.). На рис. 4.21 иллюстрируется случай относительно слабой помехи меньше энергии сигнала образующей в пространстве «сигналов полый шар радиуса с центром в точке s, соответствующей сигналу с энергией

Описанное свойство многомерного пространства сигналов позволяет в наглядной форме объяснить преимущества многобазовых сигналов при решении задачи разрешения (различения) сигналов на фоне помех. Пусть на вход приемного устройства, рассчитанного на обработку двух ортогональных сигналов обладающих одинаковыми энергией, длительностью и шириной спектра, но различной формой, воздействует смесь, состоящая из шумовой помехи и одного из указанных сигналов.

Положение сигнальных точек в пространстве сигналов показано на рис. 4.22. Расстояние между двумя ортогональными сигналами равно (см. примеры предыдущего параграфа).

В приемник тем или иным способом закладываются копии сигналов A(t) и В(t), так что в отсутствие помехи выходное устройство безошибочно принимает решение о том, какой из сигналов поступает на вход.

При наличи помехи каждый из сигналов A(t) и В(t) совместно с помехой образует в многомерном пространстве сигналов полый шар, как это изображено на рис. 4.22.

Если радиусы шаров меньше половины расстояния между точками А и В, т. е. возможность безошибочного различения сигналов практически сохраняется [22].

Допустим теперь, что при сохранении неизменными база сигнала m уменьшена. Поскольку база сигнала равна (см. § 2.15 и 3.11), это уменьшение имеет место при сужении полосы частот сигнала. Расстояние между сигнальными точками А и В остается прежним, однако расположение сигнальных точек суммы сигнал помеха в пространстве сигналов «размывается», и тем сильнее, чем меньше число координат . Вероятность «перепутывания» сигналов A(t) и В(t) возрастает с уменьшением базы сигнала.