6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД

В основе этого метода лежит использование введенной в предыдущей главе передаточной функции цепи (см. § 5.3). Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде ЭДС , то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плотность входного сигнала . Эта операция легко осуществляется с помощью выражения (2.48). Умножением на определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применение к произведению обратного преобразования Фурье [см. (2.49)] определяет выходной сигнал в виде функции времени.

Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла.

то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме

Сравнение выражения (6.2) с (6.1) показывает, что сигнал на выходе линейной цепи можно получить суммированием составляющих спектра входного сигнала, взятых свесом . Иными словами, передаточная функция цепи является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра в сигнал и

Рис. 6.1. Контур интегрирования при

В § 2.14 отмечалось, что анализ переходных процессов значительно упрощается при представлении как внешнего воздействия, так и передаточной функции в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что перейдет в . Функция же переходит в (см. § 2.14). Преобразование Лапласа от функции времени в дальнейшем обозначается символом . При этом выражение (6.2) приводится к виду (см. § 2.14)

При замкнутый контур интегрирования, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости (рис. 6.1), охватывает все полюсы подынтегральных функций как , так и благодаря чему имеет место соотношение

(здесь — сумма вычетов в указанных полюсах).

При контур интегрирования лежит в правой полуплоскости, и содержит полюсов и интеграл равен нулю.

Показанное на рис. 6.1 расположение полюсов функции (на мнимой оси) соответствует ЭДС вида существующей при .

Итак вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. Представим подынтегральную функцию выражения (6.4) в виде

В данном случае знаменатель образуется произведением множителей вида , где — полюсы не только функции но и функции .

Тогда вычет функции имеющей в точке простой полюс (первой кратности), определится формулой

Если функция имеет в точке полюс кратности k (k — целое положительное число), то

Методика применения контурных интегралов для определения некоторых функций, играющих большую роль в теории переходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.