2.17. ДИСКРЕТИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

В предыдущих параграфах под дискретизацией сигнала s(t) подразумевалось аналитическое его представление с помощью совокупности отсчетов в дискретные моменты времени .

В современной радиоэлектронике широко распространены системы, в которых осуществляется дискретизация сигнала, например, при использовании импульсных методов передачи сообщения в радиосвязи. В системах с цифровой обработкой исходный континуальный сигнал преобразуется в дискретный сигнал (см. рис. 1.2, б).

Выбор шага (темпа) Т дискретизации производится на основании теоремы отсчетов (см. § 2.15).

Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую с помощью электронного ключа, удобно рассматривать как умножение функции на вспомогательную периодическую последовательность достаточно коротких тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоугольные импульсы с длительностью малой по сравнению с Т. Таким образом, дискретизованный с шагом Т сигнал можно определить выражением

(2.120)

Функции показаны на рис. 2.34, a.

Для выявления требования к «малости» величины рассмотрим сначала структуру спектра дискретизованного сигнала Спектральную плотность исходного континуального сигнала будем считать заданной.

Запишем периодическую функцию в виде ряда Фурье по формуле (2.39), в которой под будем подразумевать величину , а под как и в (2.39), — частоту повторения :

Рис. 2.34. Дискретизация сигнала как умножение на последовательность тактовых импульсов конечной длительности (а) или на последовательность дельта-функций (б).

Учитывая, что , а также имея в виду равенство , получаем

Тогда выражение (2.120) принимает вид

Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность исходного континуального сигнала, а каждому из произведений — спектральная плотность (см. теорему в п. 3 § 2.8 о смещении спектра).

Следовательно, искомая спектральная плотность

Поскольку последнее выражение можно записать в следующей окончательной форме:

(2.121)

Графики функций представлены на рис. 2.35.

Итак, спектр дискретизованного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала , сдвинутых один относительно другого на и убывающих по закону

Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из условия отдельные спектры не перекрываются, как это показано на рис. 2.35, а, и могут быть разделены с помощью фильтров.

В практике величину Т обычно берут в несколько раз меньшей чем , что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчения реализации фильтров.

С уменьшением отношения лепестки спектра убывают медленнее и в пределе, при спектр приобретает строго периодическую структуру естественно, уровень лепестков стремится к нулю). Если одновременно с уменьшением увеличивать так, чтобы площадь импульса оставалась неизменной, то функции примут вид, показанный на рис. 2.34, б. Приравнивая для упрощения приходим к следующему определению тактовой функции:

Тогда выражение (2.120) переходит в

(2.122)

Последовательность временных отсчетов приобретает вид последовательности дельта-функций с весовыми коэффициентами, равными значениями сигнала в точках (см. рис. 2.34, б).

При этом выражение (2.121) принимает вид

(2.123)

Отметим, что энергия сигнала выраженного через дельта-функции, бесконечно велика. Соответственна и энергия спектра , определяемого выражением (2.123), бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых импульсов с конечной энергией спектр при убывает (см. рис. 2.35).

Представление в форме (2.122) существенно упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Например, спектральную плотность можно определить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру исходного континуального сигнала. Действительно, применив обычное преобразование Фурье (2.48) к выражению (2.122) для случая, когда получим

(2.124)

По своей размерности функции неодинаковы: первая имеет размерность , а вторая просто [сигнал].

Переходя к комплексной частоте , получаем изображение по Лапласу дискретизованного сигнала

(2.125)

Рис. 2.35. Спектры исходного (а) и дискретизованного (б) сигналов

Оригинал, т. е. функцию можно определить по заданному изо бражению с помощью обратного преобразования Лапласа, записываемого в обычной форме:

(2.126)

[см. (2.103)].

Выражение (2.126) определяет всю последовательность в форме, совпадающей с выражением (2.122). Для определения одного отсчета без множителя ) можно применить более простое выражение

(2.127)

в котором интегрирование ведется в пределах одного частного интервала от до

Некоторые дополнительные характеристики дискретных сигналов, существенные при цифровой обработке, приводятся, в § 12.2.