12.7. z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ

Применим -преобразование к передаточной функции дискретной цепи. Подстановка в выражение (12.11) дает

Из этого выражения видно, что передаточная функция дискретного фильтра является дробно-рациональной. По заданному выражению (12.30) легко составить разностное уравнение вида (12.4), определяющее алгоритм преобразования входной импульсной последовательности в выходную. Для этого каждому из слагаемых вида в уравнении (12.4) достаточно приписать коэффициент при степени в числителе, а слагаемым вида — коэффициент при степени в знаменателе выражения (12.30). Соответственно по заданному разностному уравнению можно составить выражение (12.30).

Следует, однако, отметить, что не всякая дробно-рациональная функция может быть реализована в виде передаточной функции фильтра. Пусть, например, передаточная функция задана в виде отношения полиномов по положительным степеням

(12.31)

Разделив числитель и знаменатель на приведем это выражение к виду

Если , то первое слагаемое в числителе (с положительной степенью ) образует в уравнении (12.4) слагаемое вида где соответствующее импульсу опережающему во времени входной импульс , что, конечно, невозможно. Отсюда следует, что фильтр осуществим при условии, что степень знаменателя в (12.31) больше или равна степени числителя.

С учетом этих замечаний запишем передаточную функцию в следующих эквивалентных формах (при ):

(12.33)

В выражении (12.32) коэффициенты следует подставлять с теми же знаками, с которыми они входят в (12.4).

В выражении (12.33) гоп — нули, — полюсы передаточной функции; могут быть либо действительными, либо комплексными числами. В первом случае они расположены на действительной оси, а во втором образуют комплексно-сопряженные пары.

Нули могут быть расположены в любой точке плоскости , полюсы же — только внутри круга единичного радиуса. Это условие вытекает из требования устойчивости цепи; при рассмотрении поведения передаточной функции на плоскости условие устойчивости требует расположения полюсов в левой полуплоскости. Как отмечалось выше, левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга на плоскости .

Для перехода от функции к функции следует, как это вытекает из (12.18), приравнять .

Таким образом,

(12.34)

Для определения АЧХ цепи в диапазоне следует вычислить модуль выражения (12.34) при изменении от 0 до , т. е. при одном обходе окружности единичного радиуса на z-плоскости. При последующих обходах окружности АЧХ периодически повторяется.

Модули разностей являются расстояниями отточки на окружности, соответствующей углу до нуля или полюса Обозначив эти расстояния через и получаем для АЧХ формулу

(12.35)

удобную для графических вычислений.

Вычисления особенно упрощаются при построении АЧХ в логарифмическом масштабе:

(12.36)

Если заданы нули и полюсы передаточной функции, то коэффициенты легко определяются с помощью известных из алгебры соотношений. Значительно более сложной (при М > 2) задачей является определение нулей и полюсов по заданным коэффициентам .

Передаточная функция и импульсная характеристика связаны между собой парой z-преобразований, вытекающих непосредственно из выражений (12.30) и (12.27) при замене в них на и на :

(12.38)

На окружности единичного радиуса . выражение (12.37) переходит в

(12.39)