Приложение 1. ПРАВИЛА ПЕРЕХОДА ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ЛАПЛАСУ Ls(p) К СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ S(w)

Пусть заданному сигналу соответствует изображение по Лапласу , которое не имеет особенностей в правой -полуплоскости, но имеет единственный полюс в точке на линии . На основании теоремы Коши можно показать справедливость равенства

Смысл этого равенства в том, что контур интегрирования совмещается с линией и обходом справа особой точки по полуокружности бесконечно малого радиуса . При обходе особой точки по замкнутому кругу интеграл равен вычету , а при обходе полуокружности получается .

Проиллюстрируем применение выражения на примерах простейших сигналов, изображения которых имеют полюсы на оси

1.

Полюс

Спектральная плотность первого слагаемого в правой части равна [см. (2.97)], а второе слагаемое является результатом интегрирования сплошного спектра соответствующей сигнум-функции [см. (2.99)]. Таким образом, замена в переменной на в итоге приводит к выражению для спектральной плотности единичного скачка

совпадающему с (2.100).

Полюсы

2.

Спектральная плотность

3.

Полюсы

Из приведенных примеров видно, что к спектральной плотности, получаемой подстановкой в изображение по Лапласу, нужно добавить дельта-функции, обусловленные полюсами функции на оси