3.8. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ

Обобщим выражения (3.25), (3.26). заменив в них постоянную амплитуду функцией времени A(t):

Как и в § 3.5, 3.6, определение спектра колебания сводится к нахождению спектров функций , т. е. огибающих квадратурных колебаний, и к последующему сдвигу этих спектров на величину

Обозначим спектральные плотности функций символами .

Тогда

Спектральная плотность косинусного квадратурного колебания в соответствии с выражением (2.58) при будет

При определении спектра синусного квадратурного колебания фазовый угол в (2.58) следует приравнять — 90°. Следовательно,

В области положительных частот можно считать

Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания а определяется выражением

Переходя к переменной , получаем

Структура спектра колебания при амплитудно-частошой модуляции зависит от соотношения и вида функций

При AM спектр колебания а характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колебания: при угловой модуляции [ ] фазы колебаний нижних боковых частот при нечетных сдвинуты на 180° (см. § 3.6). Одновременная модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между приводить к асимметрии спектра относительно не только по фазам, но и по амплитудам. В частности, если является нечетной функцией то при любой функции спектр колебания а несимметричен.

Пример подобного спектра представлен на рис. 3.22. (По отношению к точке модуль спектральной плотности симметричен при любых условиях.)

Для симметрии спектра требуется четность функции при одновременном условии, чтобы функция была либо четной, либо нечетной функцией t. Если функция может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то спектр несимметричен даже при четной функции . Например, импульс с линейной ЧМ, рассмотренный в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная огибающая при надлежащем выборе точек отсчета времени является функцией, четной относительно t, как и функция .

Рис. 3.22. Пример асимметричного спектра при смешанной амплитудной и угловой модуляциях

Наглядное представление о деформации спектра колебания при смешанной модуляции — амплитудной и угловой — можно получить, рассмотрев случай, когда обе модуляции осуществляются гармонической функцией с одной и той же частотой . Для упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания для угловой модуляции и в виде или для амплитудной.

Рис. 3.23. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гармонической функцией

1. Обе функции, как , так и четные относительно

Выражение (3.52) принимает вид

Полагая, как и в § 3.3, справедливыми приближенные равенства приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32):

Суммируя квадратурные составляющие получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте следующее выражение:

при . Аналогичным образом находим амплитуду для колебаний с частотами для частот Спектр колебания представленный на рис. 3.23, а, симметричен.

2. Функция — четная, а содержит четную и нечетную составляющие:

Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим результатам: плитуда равна 1 на частоте на частоте на частоте на частотах . Спектр колебания для рассматриваемого случая представлен на рис. 3.23, б. Симметрия спектра нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот.

Асимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции может рассматриваться как показатель неправильной работы устройства, осуществляющего АМ; перекос спектра указывает на то, что полезная АМ сопровождается паразитной угловой модуляцией.