12.3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА

Дискретный сигнал, действующий на входе цифрового фильтра, удобно представлять в форме, аналогичной (2.122), но с учетом начального условия при

Соответственно изображение, по Лапласу будет [см. (2.125)]

Нетрудно составить аналогичное выражение для дискретного сигнала на выходе фильтра.

В случае трансверсального фильтра результирующий сигнал на выходе сумматора можно записать в виде суммы

Применив к этому выражению преобразование Лапласа, с учетом теоремы смещения получим

Передаточную функцию цифрового фильтра в общем виде определим отношением

Для трансверсального фильтра это отношение будет

Заметим, что выражение (12.7) можно также получить, применив преобразование Лапласа непосредственно к импульсной характеристике представив ее в форме

Действительно,

Итак, импульсная характеристика и передаточная функция цифрового фильтра, как и в случае аналогового фильтра, связаны между собой преобразованиями Лапласа и Фурье.

Подставив в , получим передаточную функцию на оси частот

Сопоставление выражений (12.9) и (2.124) показывает, что передаточная функция цифрового фильтра как и спектры имеют периодическую структуру с периодом (на оси частот), равным .

Рис. 12.5. Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра

Следовательно, передаточную функцию дискретного фильтра наряду с с (12.9) можно записать также в форме

где — передаточная функция аналогового фильтра, обладающего импульсной характеристикой , которая соответствует дискретной характеристике (см. замечание в конце предыдущего параграфа).

Выражение (12.10) аналогично выражению (2.123). Если шаг Т мал по сравнению с протяженностью функции или, что то же самое, частота повторения больше полосы прозрачности фильтра, то частотные характеристики, соответствующие разным значениям не перекрываются. В этом случае на центральном участке — , т. е. при характеристики полностью совпадают. Это иллюстрируется рис. 12.5. для дискретного фильтра нижних частот при воздействии гармонического колебания со спектральной плотностью [см. (2.98)]. Сплошными линиями показан спектр до дискретизации, а штриховыми — периодическое продолжение этого спектра.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра в центральном интервале показана также сплошной линией. После обратного преобразования дискретного сигнала «гвых в континуальный сигнал (с помощью СФ, см. рис. 12.2) только этот частотный интервал и определяет спектральный состав выходного сигнала.

Следует подчеркнуть важность этого заключения. По существу оно означает, что определение передаточной функции дискретного фильтра как отношения можно распространить и на отношение . Иными словами, выражение (12.6) можно трактовать как передаточную функцию дискретного фильтра в целом с учетом как процесса дискретизации сигнала на входе, так и восстановления континуальной формы на выходе устройства.

Определим теперь передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра. Повторяя рассуждения, приведшие к формуле (12.7), и учитывая разностное уравнение (12.4), приходим к следующему уравнению:

Применив к этому уравнению преобразование Лапласа, получим

откуда следует, что

Здесь Н — число суммируемых предшествующих входных, а М — предшествующих выходных отсчетов.

Полученную функцию можно трактовать как передаточную функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией

и второго с передаточной функцией

Таким образом,

Перейдя от переменной к запишем передаточную функцию рекурсивного фильтра

(12.12)

Такому представлению соответствует каноническая схема на рис. 12.6. Каждый элемент памяти Т в этой схеме используется как для цепи прямой связи (с весовым коэффициентом ), так и для цепи обратной связи (с весовым коэффициентом ). Поэтому общее число элементов памяти Т вдвое меньше, чем в схеме на рис. 12.4. Легко убедиться, что разностные уравнения (12.4) справедливы и для канонической схемы.

Рис. 12.6. Каноническая схема цифрового рекурсивного фильтра