16.8. ВЛИЯНИЕ ПОМЕХ

Кепстральная обработка, основанная на логарифмической нелинейности, весьма чувствительна к воздействию помех. Для оценки допустимого уровня помехи рассмотрим следующую модель: входной сигнал , длительность которого и спектральная плотность известны, действует на фоне помехи являющейся стационарным случайным процессом с заданной спектральной плотностью мощности .

Отношение сигнал-помеха на входе устройства определим как отношение соответствующих энергий: сигнала

(16.34)

помехи

(16.35)

где — средняя мощность помехи, которая действует на отрезке времени совпадающем с длительностью обрабатываемого сигнала

Из последнего выражения вытекает, что величина имеет смысл спектральной плотности энергии помехи.

Таким образом, отношение

(16.36)

характеризует отношение спектральных плотностей энергии сигнала и помехи на входе устройства.

После дискретизации их с шагом Т функция преобразуется в (см. § 2.17), но их соотношение остается прежним, поэтому функцию , записанную в форме (16.36) или в несколько иной форме

(16.37)

можно трактовать как отношение энергетических спектров сигнала и помехи на входе логарифмической нелинейности.

Для выявления взаимодействия сигнала и помехи в указанной нелинейности обратимся к структурной схеме на рис. 16.11 и допустим, что на полезный сигнал накладывается (аддитивно) одна из реализаций случайного процесса

После дискретного преобразования Фурье (на выходе БПФ) получим совокупность спектральных коэффициентов где

причем случайная величина — спектральный коэффициент (комплексный) реализации на дискретной частоте

Определим квадрат модуля

а после логарифмирования получим

Применение к совокупности ОБПФ дает в соответствии с (16.22) истинный кепстр сигнала остальные же два слагаемых приводят к ложным отсчетам.

В реальных условиях кепстральная обработка имеет смысл при значительном превышении сигнала над помехой. Это позволяет упростить оценку влияния помехи.

Во-первых, при статистическом усреднении по множеству реализаций слагаемое, содержащее множитель обращается в нуль, поскольку начальная фаза помехи случайна и равновероятна в интервале —

Во-вторых, при выполнении условия с вероятностью, близкой к единице, справедливо неравенство Поэтому можно исходить из приближенного равенства

Если указанное неравенство выполняется для всех значений я или, что то же, для всех частот спектра в диапазоне от до , то ошибка при определении кепстра незначительна. Степень сложности выполнения этого требования при заданном сигнале зависит от формы энергетического спектра помехи.

Наиболее сложная ситуация возникает при помехе в виде белого шума. В этом случае величина

есть не что иное, как средняя мощность белого шума в полосе частот так что отношение (16.37) принимает вид

(16.38)

С повышением функция , а следовательно, и быстро убывают.

Проиллюстрируем это на примере сигнала из предыдущего параграфа, когда под помехой подразумевается шум квантования в АЦП.

Составим отношение, аналогичное (16.38), при замене на . Основываясь на (16.31'), получаем

Целесообразно выразить через отношение полных энергий сигнала и помехи на входе логарифмической нелинейности:

Потребуем, чтобы в точке в которой спектральная плотность минимальна, выполнялось условие . При это условие приводит к равенству

или

Реализация устройства кепстральной обработки при столь жестком требовании к является сложной проблемой. Для ее упрощения целесообразно, как ранее уже отмечалось, применять сигналы со спектром, убывающим медленнее, чем в рассмотренном примере. Но при этом следует помнить, что при неизменном шаге дискретизации Т снижение скорости убывания спектра приводит к ошибкам измерения из-за перекрытия спектров на участке вблизи точки

Для ослабления влияния шумов на результат обработки функцию перед ОБПФ (см. рис. 16.11) обрабатывают спектральным «окном», выделяя те составляющие, где . При этом разрешающая способность в кепстральной области определяется функцией «окна».

Известны и иные способы повышения разрешающей способности, при которых вместо ОБПФ используются современные методы спектрального анализа (спектрального оценивания), такие как авторегрессионные методы, метод максимальной энтропии и др.

Сущность этих методов заключается в определенной экстраполяции измеренного процесса вместо того, чтобы полагать процесс равным нулю за пределами спектрального окна.

На основе исходного дискретного сигнала (в рассматриваемом случае ) строится адаптивный фильтр, согласованный с сигналом, причем степень согласования зависит от априорной информации о сигнале.