5.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

5.3.1. Вероятностные характеристики.

Из определения случайного процесса с независимыми приращениями, приведенного в п.5.1.5, получаем следующее представление процесса

Дисперсия процесса в момент времени представляет монотонно возрастающую функцию, так как при независимых приращениях из (5.31) следует

Используя известные свойства характеристической функции суммы независимых случайных величин (см. п. 3.3.6), запишем -мерную характеристическую функцию процесса с независимыми приращениями

где

Таким образом, характеристическая функция любого порядка случайного процесса с независимыми приращениями определяется его одномерной и двумерной характеристическими функциями.

5.3.2. Однородные процессы с независимыми приращениями.

Случайный процесс с независимыми приращениями называется однородным (иногда — процессом со стационарными независимыми приращениями), если он определен при , причем и распределение приращения совпадает с распределением для всех . Однородный процесс с независимыми приращениями непрерывен по вероятности.

Из (5.31), следует, что однородный процесс с независимыми приращениями можно представить конечной суммой одинаково распределенных случайных величин и, следовательно,

5.3.3. Случайные процессы со скачками в фиксированные моменты времени.

Рассмотрим процесс реализации которого — ступенчатые функции со случайными скачками в фиксированные моменты времени (рис. 5.1). Скачок процесса в один из фиксированных моментов представляет случайную величину . Тогда рассматриваемый процесс можно записать в виде суммы

Этот процесс непрерывен по вероятности при всех значениях i за исключением тех фиксированных моментов времени, где появляются случайные скачки. Если скачки g, представляют совокупность независимых случайных величин, то рассматриваемый процесс является случайным с независимыми приращениями.

5.3.4. Гауссовский процесс с независимыми приращениями.

Если приращения на непересекающихся интервалах времени независимы и распределены по нормальному закону, то процесс с независимыми приращениями принадлежит классу гауссовских случайных процессов.

Рис. 5.1. Процесс со случайными скачками в фиксированные моменты времени

Характеристическая функция такого процесса

где

Характеристическая функция приращения этого процесса

где

Так как ад то из (5.39), (5.40) следует общая формула (5.33).

5.3.5. Винеровский случайный процесс.

Частным случаем гауссовского случайного процесса с независимыми приращениями является винеровский процесс, для которого

Одномерная и двумерная характеристические функции винеровского процесса

Из (5.43) находим корреляционную функцию винеровского процесса

Винеровский процесс с параметром называют стандартным.

Реализации винеровского процесса непрерывны, но недифференцируемы в любой момент времени с вероятностью единица (см., например, [15]). Винеровский процесс часто называют процессом броуновского движения, так как он служит математической моделью хаотического перемещения частиц под ударами молекул жидкости.

5.3.6. Пуассоновский процесс.

Рассматривается последовательность случайных событий, каждое из которых можно представить точкой на оси времени, а всю последовательность событий — потоком случайных точек. Обозначим через число событий (случайных точек), появившихся на интервале (0, t). Предположим, что число событий на интервале не зависит от того, сколько событий и когда происходили до указанного интервала, т. е. отсутствует последействие. Предположим, кроме того, что вероятность появления более одного события на интервале при убывает быстрее, чем (имеет место ординарность), и что вероятность появления одного события на интервале равна .

Тогда - случайный процесс с независимыми приращениями, подчиняемый закону распределения Пуассона

где

и называемый пуассоновским.

При фиксированном значении реализации пуассоновского процесса — неубывающие ступенчатые функции с единичными скачками в случайные моменты времени (рис. 5.2). Пуассоновский процесс — непрерывный по вероятности, что не противоречит возможности скачков в отдельных реализациях.

Характеристические функции пуассоновского процесса и его приращения

из которых следует и общая формула (5.33).

Модель пуассоновского процесса широко используется в естествознании и технике, в теории массового обслуживания, в теории надежности, в ядерной физике и многих других областях.

5.3.7. Однородный пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс однородный (стационарный), если интенсивность потока событий — постоянная величина. Тогда из (5.45 а) следует

и, следовательно, [см. (5.45)]

Одномерная и двумерная характеристические функции однородного пуассоновского процесса

Рис. 5.2. Пуассоновский процесс

Из (5.50) находим среднее значение однородного пуассоновского процесса

а из (5.51) — смешанный момент второго порядка

Заметим, что моментная функция второго порядка (5.53) однородного пуассоновского процесса отличается от корреляционной функции (5.43) винеровского процесса только постоянным множителем, хотя указанные случайные процессы (пуассоновский и винеровский) существенно отличаются как по виду отдельных реализаций, так и по распределениям вероятностей.

5.3.8. Обобщенный однородный пуассоновский процесс.

Случайный процесс

где — одинаково распределенные независимые случайные величины, a - единичный скачок в момент соответствующий скачку однородного пуассоновского процесса с параметром , назовем обобщенным однородным пуассоновским [16]. Реализациями такого процесса являются ступенчатые функции со случайными независимыми скачками в случайные моменты времени (рис. 5.3).

Характеристическая функция обобщенного однородного пуассоновского процесса [16]

где — характеристическая функция случайных скачков . Если скачки детерминированы и равны единице, то и формула (5.55) совпадает с (5.50).

Среднее значение и смешанный момент второго порядка обобщенного однородного пуассоновского процесса [16]

(5.56 а)

Имея в виду, что g распределены одинаково, т. е. что и нетрудно заметить, что указанные величины отличаются от соответствующих величин однородного пуассоновского процесса лишь множителями а и [см. (5.22) и (5.53)].

Рис. 5.3. Обобщенный пуассоновский процесс

Как и однородный пуассоновский процесс, обобщенный пуассоновский является случайым процессом с независимыми приращениями.

5.3.9. Белый шум.

Рассмотренные ранее случайные процессы с независимыми приращениями — винеровский, однородный пуассоновский, обобщенный однородный пуассоновский — непрерывны по вероятности, но не дифференцируемы. Производные этих процессов можно рассматривать как обобщенные случайные процессы с независимыми значениями [17], корреляционные функции которых

где

Корреляционная функция (5.57) является по определению корреляционной функцией белого шума — случайного процесса с постоянной на всех частотах интенсивностью спектральной плотности мощности (см. п. 4.4.2).

Таким образом, имеется три класса белых шумов: гауссовский (производная винеровского процесса), пуассоновский и обобщенный пуассоновский (производные однородных пуассоновского и обобщенного пуассоновского процессов).

5.3.10. Разложение случайного процесса с независимыми приращениями.

Как доказал П. Леви (см., например [8]), процесс с независимыми приращениями может быть представлен суммой трех независимых слагаемых: а) детерминированного (центрирующего) процесса, б) процесса с независимыми приращениями со скачками в фиксированные моменты времени (см. п. 5.3.3), в) непрерывного по вероятности процесса с независимыми приращениями. Непрерывная часть любого процесса с независимыми приращениями есть либо гауссовский процесс с независимыми приращениями (см. п. 5.3.4), либо пуассоновский (см. 5.3.6), либо сумма этих процессов.