2.5. ОРТОГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ

2.5.1. Разложение в ряд по ортогональным полиномам.

В некоторых случаях полезно аппроксимировать плотность вероятности случайной величины частичной суммой ряда, представляющего разложение функции плотности по ортогональным функциям. В качестве весовой функции которая определяет совокупность ортогональных функций выбирают какую-нибудь простую, известную плотность вероятности, которая приближенно отражает основные свойства аппроксимируемой плотности. Формально упомянутый ряд, представляющий произвольную плотность вероятности можно записать следующим образом:

Коэффициенты можно определить, умножив обе части (2.77) на функцию и проинтегрировав с использованием условия ортогональности

где

— символ Кронекера.

При этом в сумме все члены, за исключением одного при равны нулю и, следовательно,

Если — совокупность ортогональных полиномов, то . Тогда

где — момент порядка случайной величины и, следовательно,

конечно, при условии, что моменты случайной величины существуют.

Сходимость ряда (2.82) необходимо установить в каждом конкретном случае. Однако существуют задачи, в которых сходимость указанного ряда не имеет значения. Речь идет о построении аппроксимации неизвестной функции распределения, если заданы лишь несколько моментов этого распределения. Поэтому важно быть уверенным, что первые слагаемые ряда (2.82) дают достаточно хорошее приближение к Тогда вопросами сходимости можно и не интересоваться. Ряд (2.82) может быть даже расходящимся, моменты более высокого порядка могут вовсе не существовать, а аппроксимация несколькими первыми слагаемыми может оказаться лучшей, чем в том случае, когда указанный ряд сходится.

2.5.2. Разложение по полиномам Эрмита.

Чтобы не усложнять выражений, предположим, что представляет плотность нормированной случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Переход к распределению с произвольными средним а и дисперсией дает .

Начнем с разложения в ряд по полиномам Эрмита:

В рассматриваемом случае — нормальная плотность вероятности. Учитывая условие нормировки (2.78), получаем в соответствии с (2.77) (ряд Грама — Шарлье)

где

причем , а вследствие принятой нормировки случайной величины имеем

Используя определение полиномов Эрмита, можно (2.84) переписать в виде

где производная нормальной плотности распределения. Первые несколько коэффициентов в ряду (2.86):

Тогда первые три члена разложения (2.86) представляются следующим образом:

где и — коэффициенты асимметрии и эксцеоса распределения случайной величины ?.

Из (2.88) нетрудно также описать аппроксимацию интегральной функции распределения:

где — интеграл Лапласа.

2.5.3. Разложение по полиномам Лаггера.

Разложим плотность вероятности случайной величины, принимающей положительные значения, в ряд по полиномам Лаггера

В этом случае (гамма-распределение); учитывая условие нормировки (2.78), получаем в соответствии с (2.77)

где

Так как для неотрицательной случайной величины среднее , то все ее значения можно нормировать путем деления на . Тогда в (2.91) при

Следовательно, первые члены разложения (2.91) представляются следующим образом:

2.5.4. Разложение по полиномам Чебышева.

Разложим в ряд плотность вероятности случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу по полиномам Чебышева:

В этом случае . Учитывая условие нормировки (2.78), в соответствии с (2.77) получаем

где

(2.94 а)

Из (2.94 а) находим, например:

Тогда первые члены разложения (2.94) представляются следующим образом:

2.5.5. Разложение двумерной плотности вероятности.

Рассмотрим двумерную плотность вероятности совокупности двух случайных величин. Аналогично (2.77) можно формально представить в виде ряда

где и - ортогональные нормированные полиномы, соответствующие весовым функциям . Коэффициенты находим, умножая обе части (2.96) на и дважды интегрируя по в области, определяемой весовыми функциями, с использованием условий ортогональности. Тогда в кратной сумме все члены, за исключением одного обращаются в нуль и в результате

Часто за весовую функцию целесообразно принять одномерные плотности вероятности случайных величин, т. е. . Кроме того, во многих практических случаях оказывается, что при и приведенные формулы значительно упрощаются. Вместо разложения в кратный ряд получаем сумму вида

где

Так как то из (2.98) видно, что первый член разложения соответствует предположению о независимости случайных величин, а последующие члены определяют поправку, учитывающую вероятностную связь.

Если одномерные распределения случайных величин одинаковы: , то разложение (2.98) можно представить в виде

(2.100)

где

(2.101)

Здесь - ортогональные нормированные полиномы относительно весовой функции .

Примером ортогонального разложения является следующее представление двумерной плотности вероятности двух нормированных гауссовских» случайных величин с коэффициентом корреляции

где — нормированные полиномом Эрмита и