13.5.8. Знаково-ранговые статистики.

Дополним гипотезу Н об однородности и независимости выборки предположением, что плотность распределения выборочного значения симметрична . Если альтернатива К состоит в нарушении симметрии функции плотности, то при такой альтернативе будет сохраняться инвариантность функции правдоподобия выборки к перестановкам аргументов и, следовательно, использование ранговой статистики не позволит проверить гипотезу Н против альтернативы К. Но нарушение симметрии плотности приводит к тому, что выборочные значения определенного знака становятся более вероятными, чем выборочные значения противоположного знака. Поэтому при ранжировании следует сохранить информацию о знаке. Для этого используют вектор абсолютных величин наблюдений

(13.172)

и вектор положительных рангов

(13.173)

компоненты которого представляют порядковые номера элементов вариационного ряда выборки абсолютных величин наблюдений. Ясно, что

Рис. 13.8. Задача сдвига

Элементы вектора положительных рангов (13.172) можно представить в виде [ср. с (13.168 а)]

Функция вектора положительных рангов и вектора знаков называется знаково-ранговой статистикой. Алгоритм, использующий знаково-ранговую статистику, называется знаково-ранговым.

Если выборка однородная, независимая и выполняется условие симметрии плотности вероятности выборочных значений, то совокупность случайных векторов sgnx, независимая и

(13.174 а)

где — вектор перестановок чисел от 1 до n, a v — вектор, компоненты которого равны ±1.