13.9. АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

13.9.1. Постановка задачи.

Ранее предполагалось, что исходной для статистических выводов является дискретная выборка — результат временной дискретизации наблюдаемой реализации случайного процесса. Однако при такой дискретизации часть полезной информации неизбежно теряется. Поэтому представляют интерес аналоговые алгоритмы проверки гипотез, использующие непрерывно наблюдаемые реализации. Задача проверки гипотез в этом случае формулируется следующим образом.

Рассматриваются два случайных процесса . На интервале длительностью Т наблюдается реализация относительно которой выдвигается гипотеза , что против альтернативы , что . Пространством наблюдений является функциональное пространство непрерывных функций. Задача состоит в принятии одного из двух решений: — верна гипотеза или — верна альтернатива Ни Аналоговый алгоритм принятия решения предписывает сравнение с порогом функционала от наблюдаемой реализации. Оптимальный алгоритм обусловлен заданным критерием качества.

В приведенной постановке задачи отсутствует один из важнейших элементов комплекта априорных данных — вероятностная мера на пространстве наблюдений, без которой, как показывают приведенные результаты, невозможен синтез алгоритма проверки гипотез. Строгое в математическом отношении введение понятия вероятностной меры на функциональном пространстве наблюдений выходит за рамки настоящей книги (см., например, [10], [46]). Приведем лишь результаты, необходимые для решения поставленной задачи.

Заметим прежде всего, что невозможно указать содержательный смысл используемого некоторыми авторами формального перехода к пределу при в функции правдоподобия дискретной выборки для введения понятия так называемого функционала правдоподобия Такого предела просто не существует. Предельный переход возможен лишь для статистики отношения правдоподобия.

13.9.2. Функционал отношения правдоподобия.

Пусть последовательности конечномерных непрерывных плотностей вероятности удовлетворяют условиям (4.5 а и б), необходимым и достаточным для существования случайных процессов Для проверки гипотезы Но против альтернативы можно вместо дискретной выборки использовать непрерывно наблюдаемую реализацию Эта возможность базируется на фундаментальной теореме, согласно которой при определенных условиях существует предел по вероятности при отношения правдоподобия

(13.204)

Предел (13.204) называется функционалом отношения правдоподобия наблюдаемой реализации . Следуя Гренадеру [47], случай, для которого функционал отношения правдоподобия называют регулярным. При других условиях функционал отношения правдоподобия с вероятностью единица неограниченно возрастает или обращается в нуль, что соответствует вырожденному (или сингулярному) случаю.

Как и для дискретной выборки, в дальнейшем будет рассматриваться логарифм функционала отношения правдоподобия Тогда в сингулярном случае неограничен.

Если то сходится к в среднеквадратическом и имеет место регулярный случай.

Для независимой однородной выборки при

т. е. этот случай сингулярный и рассматривался в § 13.5 при проверке простых гипотез о среднем нормального распределения. Ясно, однако, что применительно к выборке из реализации случайного процесса неограниченное увеличение числа независимых наблюдений означает неограниченное время наблюдения.

13.9.3. Оптимальные аналоговые алгоритмы проверки гипотез.

Оптимальный по любому из критериев, указанных в § 13.1, одношаговый аналоговый алгоритм проверки гипотезы против альтернативы предписывает сравнение с порогом достаточной статистики функционала отношения правдоподобия

(13.205)

где с — порог, определяемый из табл. 13.1.

Можно показать, что в регулярном случае при любом конечном времени наблюдения Т алгоритм (13.205), использующий функционал отношения правдоподобия, неизбежно приводит к отличным от нуля вероятностям ошибочных решений. Напротив, в сингулярном случае достоверные безошибочные решения оказываются возможным/и при любом конечном

Байесовский риск при использовании алгоритма (13.205) вычисляется согласно (13.9), где вероятности ошибок

(13.206)

Эти же соотношения верны и для вероятностей ошибок при использовании алгоритмов, оптимальных по критерию максимальной апостериорной вероятности или максимального правдоподобия (с соответствующим значением порога с).

Для алгоритма, оптимального по критерию Неймана — Пирсона, формула (13.206) используется для определения порога с в алгоритме (13.205), а формула (13.207) — для определения минимальной вероятности ошибки второго рода.

Нетрудно получить оптимальные аналоговые алгоритмы принятия решений и в многоальтернативной задаче проверки гипотез. Для этого достаточно в формулах (13.53) и (13.57) заменить отношения правдоподобия их предельными статистиками — функционалами отношения правдоподобия