12.3. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

12.3.1. Предварительные замечания.

Статистическому синтезу алгоритма принятия решения всегда предшествует выбор критерия качества алгоритма. Без формулировки критерия качества задача синтеза становится бессодержательной. Синтез оптимального алгоритма всегда связан с нахождением экстремума определенного критерия качества. Алгоритм, оптимальный по данному критерию качества, может оказаться неоптимальным по другому критерию. Критерий качества используется и для сравнения двух любых алгоритмов, даже неоптимальных, а также оптимального с квазиоптимальным, полученным эвристически или путем упрощения структуры оптимального алгоритма.

Использование того или иного критерия качества алгоритма принятия решения зависит от полноты располагаемых априорных данных. Критерий качества может быть векторным, когда к алгоритму предъявляется несколько требований. Будем рассматривать только скалярные критерии качества. Ограничимся сначала классом дискретно-аналоговых одношаговых алгоритмов принятия решений и проанализируем несколько критериев качества, каждый из которых соответствует определенному набору располагаемых априорных данных.

12.3.2. Критерии качества алгоритма проверки гипотез.

Средний риск. При наличии полного комплекта априорных данных, указанных в § 12.2, используется критерий среднего риска — среднее значение платы за принятие решения при проверке статистических гипотез. Если выдвигаются гипотез , то плата за решение представляет дискретную случайную величину П с возможными значениями , задаваемыми матрицей потерь. Так как

то по определению среднего значения дискретной случайной величины находим выражение среднего риска

Но согласно правилу умножения (см. п. 1.2.2)

Используя (12.2) и (12.56), получаем из (12.9)

(12.10)

причем

(12.11)

где - функция правдоподобия выборки при условии, что верна гипотеза .

Из (12.8) — (12.11) следует

(12.12)

Апостериорная вероятность гипотезы. Если матрица потерь априори не задана, то критерием качества алгоритма Принятия решения может служить апостериорная вероятность гипотезы при условии, что наблюдается выборка По формуле Байеса получаем

(12.13)

Вероятность правильного решения. Другим критерием в условиях априорной неопределенности матрицы потерь является вероятность правильного решения

(12.14)

Вероятность ошибочного решения

(12.14 а)

Нетрудно убедиться в том, что вероятность ошибки совпадает с частным значением среднего риска R, когда платы удовлетворяют условию , где — символ Кронекера,

Численные значения приведенных критериев качества зависят от принятого правила разбиения выборочного пространства X на области , т. е. от правила выбора решения (алгоритма проверки гипотез).

12.3.3. Критерии качества алгоритма оценивания параметров.

Средний риск. Аналогично п. 12.3.2 при наличии полного комплекта априорных данных в задачах оценивания параметров используется критерий среднего риска — среднего значения функции потерь. Если предположить, что оцениваемый параметр представляет векторную случайную величину с известной плотностью вероятности заданной на пространстве параметров в, то совместная плотность вероятности оцениваемого параметра и выборки которая используется для оценки

Тогда среднее значение потерь как функции от совокупности случайных величин

(12.15)

Апостериорная плотность вероятности. Если функция потерь не задана, то критерием качества может служить какая-либо числовая характеристика, (мода, среднее) апостериорной плотности вероятности параметра при условии, что наблюдается выборка . По формуле Байеса получаем

(12.16)

Средний квадрат ошибки. Часто используется как критерий качества алгоритма оценивания средний квадрат ошибки

(12.17)

Ясно, что значение среднего квадрата ошибки совпадает с частным значением среднего риска R при квадратичной функции потерь

(12.17 а)