Глава 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИЧЕСКИХ (БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ) СИСТЕМАХ

8.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

8.1.1. Общие соотношения.

В линейных системах корреляционная функция и спектральная плотность мощности выходного процесса однозначно определяются характеристикой системы и корреляционной функцией (или спектром) процесса на ее входе (см. § 7.1, 7.2).

Для определения энергетического спектра случайного процесса и его корреляционной функции на выходе нелинейной системы необходимо знать, по крайней мере, двумерное распределение входного случайного процесса.

Как отмечалось в п. 6.1.3, значение процесса на выходе статической нелинейной системы в произвольный момент времени t определяется значением процесса на входе системы только в тот же самый момент времени t. Поэтому нет необходимости анализировать преобразование случайных процессов в статических нелинейных системах раздельно для случайных процессов и непрерывных случайных последовательностей. Приводимые далее результаты применимы и для непрерывного, и для дискретного времени.

Пусть известны характеристика вход-выход нелинейной статистической системы [см. (6.5)]

и двумерная плотность вероятности случайного процесса на входе системы. Тогда, используя приведенные в гл. 3 правила нахождения средних значений функции случайных величин, для корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы получаем

Если — стационарный случайный процесс, то стационарен также и процесс на выходе нелинейной статической системы, а его корреляционная функция

Если в интеграле (8.3) заменить то получим соответственно выражения для среднего значения и второго момента стационарного процесса на выходе [см. также (3.14)]:

Аналогично, если существует момент процесса то

Найдя корреляционную функцию стационарного случайного процесса на выходе нелинейной системы, можно, используя теорему Хинчина — Винера, т. е. совершая преобразование Фурье, получить спектральную плотность мощности этого процесса. Однако непосредственно вычислить интеграл (8.2) или (8.3), как правило, очень сложно. Поэтому целесообразно предварительно преобразовать его так, чтобы разделить переменные интегрирования в двойном интеграле. Далее рассматриваются некоторые общие методы вычисления интегралов вида (8.2). Отметим, что эти методы пригодны также для вычисления взаимной корреляционной функции процессов и на выходе двух нелинейных систем, если известны совместная двумерная плотность вероятности процессов на входах этих систем и их характеристики. Выражение для указанной взаимной корреляционной функции имеет вид

Формула (8.2) является частным случаем (8.6), когда . Если , то (8.6) дает выражение взаимной корреляционной функции процессов на входе и на выходе нелинейной системы (при ).

8.1.2. Прямой метод вычисления корреляционной функции.

Этот метод основан на разложении двумерной плотности вероятности процесса на входе нелинейной системы в ряд, т. е. на использовании результатов п. 2.5.5. Пусть - одномерная плотность вероятности, соответствующая двумерной плотности вероятности процесса на входе нелинейной системы. Примем за весовую функцию и построим совокупность нормированных ортогональных полиномов которые должны удовлетворять условию ортогональности

где — символ Кронекера.

Двумерную плотность вероятности можно разложить в двойной ряд по этим ортогональным полиномам [см. (2.96)]

Коэффициенты могут быть определены умножением обеих частей (8.7) на и интегрированием с использованием условия ортогональности. Тогда

Во многих практически важных случаях

Для этого класса распределений формулы (8.7) и (8.8) упрощаются [ср. (2.98), (2.99)]:

Подставляя (8.9) в (8.2) и разделяя переменные интегрирования, получаем

где

Формула (8.11) описывает корреляционную функцию случайного процесса на выходе нелинейной системы в виде ряда функций , которые определяются только корреляционными характеристиками процесса на входе, но не зависят от вида нелинейности.

Рассмотренный метод вычисления корреляционной функции на выходе нелинейной системы назовем прямым.

Если случайный процесс на входе нелинейной системы стационарный, то не зависит от времени обусловлено только и тогда (8.11) может быть записано в виде

где

2.1.3. Спектральная плотность мощности процесса после нелинейного преобразования. Из (8.13), используя теорему Хинчина —

Винера, находим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы

где

Из (8.16) и (8.17) непосредственно следует, что широкополосный стационарный случайный процесс после нелинейного неинерционного преобразования также стационарный и широкополосный.

Рассмотрим теперь нелинейное неинерционное преобразование узкополосного случайного процесса. В этом случае в соответствии с (4.111) корреляционная функция процесса на входе нелинейной системы

где и -функции, медленно меняющиеся по сравнению с

Предположим, что в (8.17)

Разлагая (8.19) по косинусам кратных дуг, получаем

Подставляя (8.20) в (8.17) и собирая все члены при одинаковых гармониках частоты можно корреляционную функцию узкополосного процесса после нелинейного преобразования представить в виде

а соответствующую спектральную плотность мощности — в виде

Характерной особенностью выражения (8.21) является то, что функции и -медленно меняющиеся по сравнению с Это соответствует тому, что спектр узкополосного стационарного случайного процесса после нелинейного неинерционного преобразования представляет последовательность разделенных друг от друга спектральных полос (рис. 8.1), которые расположены в области низких частот [спектр ] около несущей частоты [спектр ], где сосредоточен также спектр и входного процесса] и в высокочастотных областях около гармоник несущей (спектры ) при ).

Рис. 8.1. Спектральная плотность мощности узкополосного процесса после нелинейного преобразования

Их можно разделить при помощи полосовых фильтров, каждый из которых позволяет охватить данную полосу и не пропустить заметную часть спектра соседних полос. Низкочастотный спектр наиболее интересен при демодуляции, в то время как спектральная полоса около несущей важна для изучения таких процессов, как модуляция и гетеродинирование.

8.1.4. Метод контурных интегралов.

Второй способ вычисления интеграла (8.2) заключается в использовании представления характеристики нелинейной системы контурным интегралом

где

Подставляя (8.23) в (8.2) и меняя порядок интегрирования, находим

Внутренний интеграл по представляет двумерную характеристическую функцию процесса на входе нелинейной системы. Тогда

Если процесс на входе стационарный, то

Если в (8.26) заменить при , то получим [ср. с (8.4)]

Для разделения переменных интегрирования в (8.25) можно как и в п. 8.2.1 при прямом методе, разложить в ряд по ортогональным полиномам, соответствующим одномерной характеристической функции, а в некоторых случаях в степенной ряд Тейлора.

Нельзя дать общей рекомендации, когда для вычисления корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы применять прямой метод, а когда метод контурных интегралов. Такая рекомендация зависит от вероятностных характеристик, входного процесса и от характеристики нелинейной системы. Если потребуется дополнительное усреднение по времени корреляционной функции выходного процесса, может оказаться предпочтительнее метод контурных интегралов для нестационарных процессов.

8.1.5. Метод производных.

Этот метод основан на обобщении? на случайные процессы кумулянтных уравнений (3.736), (3.84г) [31]. Так, для стационарного процесса на входе статической нелинейной системы из (3.736) получаем дифференциальное уравнение, связывающее средние значения процессов на входе и выходе системы

а из (3.84 г) — дифференциальное уравнение, связывающее корреляционные функции на входе и на выходе системы:

Конечно, уравнения (8.28) и (8.29) можно использовать для определения среднего и корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы, если правые части этих уравнений константы или содержат в явном виде соответственно среднее и корреляционную функцию процесса на входе. Эффективность метода производных будет показана в гл. 9 для гауссовского процесса на входе нелинейной системы.

В этом случае метод производных часто позволяет получить выражение корреляционной функции процесса на выходе нелиней ной системы в замкнутой форме, а не в виде бесконечного ряда [см. (8.11)].

Однако с помощью представления в виде ряда можно гораздо проще выполнить преобразование Фурье корреляционной функции, необходимое для определения спектральной плотности мощности [см. (8.17)].