11.5. ЗАДАЧИ

11.1. Используя формулу (11.3), доказать, что среднее значение и корреляционная функция процесса на выходе системы УПЧ — квадратичный детектор — фильтр, когда на его вход действует сумма детерминированного сигнала и гауссовского белого шума со спектральной плотностью

(2)

11.2. Пусть в системе УПЧ — квадратичный детектор — фильтр частотные характе ристики УПЧ и фильтра описываются гауссовскими кривыми

Соответствующие импульсные функции имеют вид

Параметры и (32 просто выражаются через полосы УПЧ и фильтра (см. п. 7.2.8):

Обозначим отношение этих параметров

Доказать, что кумулянты процесса на выходе рассматриваемой системы, когда на вход действует сумма гармонического сигнала и гауссовского белого шума со спектральной плотностью

где

11.3. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы высокодобротный колебательный контур — квадратичный детектор — -фильтр, когда на вход действует гауссовский белый шум, определяется по формулам

где — отношение полос пропускания колебательного контура и фильтра.

11.4. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы перемножитель — RС-фильтр, когда на вход перемножителя действуют гауссовский белый шум со спектральной плотностью и стационарный гауссовский процесс с корреляционной функцией определяется по формулам

где

11.5. Типовое звено состоит из высокодобротного контура типа RLC, квадратичного детектора, выделяющего квадрат огибающей, и -интегратора, причем отношение полос цепей до и после детектора Показать, что плотность вероятности процесса на выходе указанного типового звена, когда на входе действует гауссовский белый шум

где — мощность шума на единицу полосы частот.

11.6. В условиях предыдущей задачи при произвольном отношении полос и конечном времени Т последетекторного интегрирования показать, что распределение процесса на выходе типового звена определяется из общей формулы подстановкой собственных значений где положительные корни уравнения

где — функции Бесселя первого и второго рода,

11.7. Процесс представляет результат прохождения гауссовского белого шума через колебательный контур, образованный последовательным соединением резистора катушки индуктивности L и конденсатора С (см. п. 7.2.7, величина Q по-прежнему обозначает добротность контура, а — резонансную частоту).

Доказать, что среднее значение и дисперсия средней мощности этого процесса за время усреднения Т:

где Доказать, что при (т. е. при неограниченном увеличении времени усреднения Т) распределение случайной величины асимптотически нормальное с параметрами

11.8. В условии задачи 11.7 процесс — узкополосный (добротность ). Вывести следующее выражение плотности вероятности средней мощности процесса за конечное время усреднения

где

Доказать, что формула (15) представляет плотность вероятности суммы квадратов двух независимых центрированных гауссовских случайных величин с дисперсиями