Научная библиотека

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

По определению дельта-функция для любого действительного параметра равна нулю при и неограничена при

Интеграл от этой функции

Строго говоря, дельта-функция получается как предельная функция однопараметрического семейства непрерывных функций. Примеров таких семейств очень много. Одним из них, как отмечалось в гл. 2, является семейство нормальных функций распределения при постоянном среднем значении а и при переменном среднеквадратическом Другим служит семейство функций из которого при получаем дельта-функцию

Рассмотрим совокупность прямоугольных импульсов единичной площади, длительность которых , а высота

Если устремить длительность импульса к нулю, то в результате такого предельного перехода получим дельта-функцию:

Дельта-функция возникает также и при следующем предельном переходе:

Свертка дельта-функции с любой ограниченной и непрерывной в точке функцией обладает следующим свойством:

Если функция в точке имеет разрыв (первого рода), то

где — значения справа и слева от точки разрыва.

Свойство, выраженное формулой (5), может быть названо фильтрующим. В самом деле, дельта-функция действует как фильтр; умножая произвольную

Доказательство формулы (5) получается, если под знак интеграла вместо подставить любую аппроксимирующую ее функцию и затем перейти к пределу.

Отметим, что дльта-функция имеет размерность

Найдем преобразование Фурье дельта-функции. Используя фильтрующее свойство, получаем

Если то из следует, что спектр равномерный на всех частотах, с интенсивностью, равной единице. В соответствии с (6) спектр полусуммы двух дельта-функций

Совершая теперь обратное преобразование Фурье, находим

В силу симметрии интеграла Фурье переменные и в формулах (6) и (7) могут меняться местами.

Производные от дельта-функции определяются как пределы соответствующих производных от аппроксимирующих функций. Например, если воспользоваться для такой аппроксимации нормальными функциями распределения при то для производной от дельта-функции получаем следующее определение:

Как и сама дельта-функция, ее производные равны нулю при Поведение производных при сложное. Например, первая производная дельтафункции

равна при подходе к началу координат слева и при подходе справа . В окрестности поведение сравнимо с поведением функции

Фильтрующее свойство дельта-функции распространяется также и на ее производные. Свертка производной порядка дельта-функции с любой функцией, имеющей непрерывную производную порядка в точке

Если производная терпит разрыв (первого рода), в точке то

Найдем спектр (преобразование Фурье) производной дельта-функции. Используя (9), получаем

Если то из (10) следует, что спектр равен

Так как для корреляционной функции белого шума с единичной интенсивностью то из (4.58) следует, что все собственные числа одинаковы соответствии с (4.57)

где — любая система ортонормированных функций.

Заметим, что не только дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Подобное свойство присуще, например, функции Если непрерывно в точке то

причем