19.3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ РАНГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ

19.3.1. Синтез асимптотически оптимального рангового алгоритма.

Из результатов, приведенных в п. 19.2.4, следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной помехи имеет вид

(19.53)

где — ранг выборки — функция распределение помехи и

(19.53 а)

[см. (18.3)]

Порог в правой части (19.53) зависит только от заданной вероятности а ложной тревоги, а не от распределения помехи. Иными словами, алгоритм обнаружения (19.53), асимптотически оптимальный для помехи с функцией распределения является также непараметрическим.

При условиях (19.46 а, б) статистика в (19.53) асимптотически нормальна и при гипотезе (сигнала нет), и при альтернативе К (сигнал присутствует) с параметрами соответственно (см. п. 18.1.1). Ясно, что КАОЭ рангового алгоритма (19.53) по отношению к неранговому алгоритму (18.2) обнаружения сигнала при той же помехе равен единице.

Схема рангового алгоритма (19.53) (рис. 19.2) отличается от структурной схемы на (рис. 18.1) дополнительным устройством ранжирования выборки на входе обнаружителя сигнала и нелинейным преобразователем рангов, характеристика которого

зависит от распределения помехи.

Заметим, что непараметрический алгоритм (19.53) можно использовать для обнаружения сигнала как с нулевой, так и с ненулевой (Постоянной составляющей. Однако в первом случае алгоритм эффективнее, чем во втором.

Рис. 19.2. Схема асимптотически оптимального рангового обнаружителя детерминированного сигнала

19.3.2. Синтез асимптотически оптимального знакового-рангового алгоритма.

Из результатов, приведенных в п. 19.2.4, следует, что асимптотически оптимальный знаково-ранговый непараметрический алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной независимой помехи с симметричной плотностью распределения имеет следующий вид:

(19.55)

Как и ранговая статистика в (19.53), знаково-ранговая статистика в (19.55) асимптотически нормальна и при гипотезе Н, и при альтернативе причем параметры предельных распределений те же, что и у ранговой статистики, а КАОЭ алгоритма (19.55) по отношению к соответствующему неранговому алгоритму (18.2) равен единице. Заметим, что непараметрический алгоритм (19.55) целесообразно использовать лишь для обнаружения сигнала, постоянная составляющая которого не равна нулю.

Схема асимптотически оптимального знаково-рангового алгоритма (19.55) представлена на рис. 19.3.

19.3.3. Примеры асимптотически оптимальных ранговых алгоритмов.

Рассмотрим несколько конкретных распределений помехи при фиксированной дисперсии и нулевом среднем значении.

Для гауссовской помехи [см. (18.24)]

(19,56)

где — функция, обратная интегралу Лапласа. Из (19.53) и (19.56) следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи

(19.57)

совпадает с ранговым алгоритмом Ван дер Вардена [см. (16.35)]. Таким образом установлено, что ранговый алгоритм Ван дер Вардена — асимптотически оптимальный при обнаружении сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи.

Рис. 19.3. Схема асимптотически оптимального знаково-рангового обнаружителя детерминированного сигнала

Для лапласовской помехи [см. (18.13)]

(19.58)

где знак «минус» соответствует , а знак «плюс» . Из (19.58) находим

Но так как для лапласовской помехи [см. (18.25)] , то

(19.59)

Из (19.53) и (19.59) следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой лапласовской помехи

(19.60)

т. е. совпадает с медианным ранговым алгоритмом [ем. (16.33)]. Таким образом, установлено, что медианный ранговый алгоритм — асимптотически оптимальный при обнаружении сигнала на фоне аддитивной лапласовской помехи.

Для логистической помехи [см. (18.17)]

а так как для этой помехи [см. (18.18)]

то

(19.61)

Из (19.53) и (19.61) следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой логистической помехи

(19.62)

совпадает с ранговым алгоритмом Вилкоксона [см. (18.35)]. Таким образом, установлено, что ранговый алгоритм Вилкоксона — асимптотически оптимальный при обнаружении сигнала на фоне аддитивной логистической помехи.

19.3.4. Примеры знаково-ранговых асимптотически оптимальных алгоритмов.

Рассмотрим задачу обнаружения постоянного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с симметричной плотностью распределения. Для гауссовской помехи из (19.55) и (19.56) находим

(19.63)

что совпадает с знаково-ранговым алгоритмом Ван дер Вардена [42]. Для лапласовской помехи из (19.55) и (19.59) находим

(19.64)

что совпадает с односторонним знаковым алгоритмом [см. (18.26)]. Для логистической помехи из (19.55) и (19.61) находим

(19.65)

что совпадает с знаково-ранговым (одновыборочным) алгоритмом Вилкоксона [42].