Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТАТИЧЕСКИХ (БЕЗИНЕРЦИОННЫХ) НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

9.1. АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЯМЫМ МЕТОДОМ

9.1.1. Общие соотношения.

Ранее отмечалось, что задача анализа прохождения (косвенного описания) гауссовского случайного процесса через линейные системы сравнительно простая, так как процесс на выходе сохраняет при этом нормальное распределение; изменению подвергаются лишь корреляционная функция и соответствующая ей спектральная плотность мощности.

Все необходимые для расчетов формулы содержатся в гл. 7. Поэтому основной интерес представляет задача о нелинейных преобразованиях гауссовского случайного процесса.

Ограничимся изучением, главным образом, корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса на выходе нелинейной статической системы. Для этого используем общие методы, указанные в гл. 8. Лишь в § 9.4 рассмотрим несколько примеров определения функций распределения гауссовского процесса после нелинейного преобразования.

Пусть на входе нелинейной статической системы действует случайный процесс, представляющий сумму детерминированного процесса и стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым средним значением, дисперсией и нормированной корреляционной функцией . Двумерная плотность вероятности этого процесса (см. п. 5.2.1)

где

Подставляя (9.1) в (8.2) и заменяя переменные интегрирования получаем выражение для корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы с характеристикой если на входе его действует аддитивная смесь детерминированного и стационарного гауссовского процессов:

Для вычисления интеграла в (9.2) воспользуемся методом, указанным в п. 8.1.2. Так как одномерная плотность вероятности стандартного нормального распределения

то, принимая функцию (9.3) в качестве весовой, найдем, что соответствующей совокупностью ортогональных полиномов являются полиномы Эрмита [см. (2.83)].

Разложение двумерной плотности вероятности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

При сравнении (9.3) с (8.9) необходимо иметь в виду, что полиномы Эрмита нейормированы. Необходимо подставить

Заменяя экспоненциальную функцию под знаком интеграла (9.2) ее разложением в ряд (9.3), меняя порядок суммирования и интегрирования и, замечая, что при этом переменные интегрирования разделяются, находим [ср. с (8.11)]

где

Если детерминированное слагаемое обращается в нуль, то из (9.5) определяем корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы, когда на вход ее действует центрированный стационарный гауссовский процесс

где

По теореме Хинчина — Винера, производя преобразование Фурье обеих частей равенства (9.6), получим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы

где — нормированная корреляционная функция гауссовского процесса на входе системы.

Первый член в ряде (9.8) соответствует постоянной составляющей (дискретная часть спектра), а сумма остальных членов — непрерывной части спектра случайного процесса на выходе системы.

9.1.2. Корреляционная функция процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный.

Пусть спектр стационарного гауссовского процесса узкополосный, т. е. сосредоточен в относительно узкой полосе частот около высокой частоты на которой спектральная плотность максимальна и относительно которой спектр можно считать симметричным. В соответствии с (4.103) нормированную корреляционную функцию такого узкополосного стационарного случайного процесса можно представить в виде

где

— спектр узкополосного процесса, смещенный в область низких частот.

Подставляя (9.9) в (9.6), находим

Заменим степени косинусов в (9.10) суммой косинусов кратных дуг по известным формулам

(9.11 а)

Тогда выражение (9.10) корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы примет вид

Обозначив и изменив порядок суммирования в двойных суммах, находим

Обозначая

(9.14 а)

перепишем (9.13) в виде [ср. (8.21)]

9.1.3. Спектральная плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный.

По теореме Хинчина — Винера из (9.15) находим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный гауссовский случайный

где

(9.17 а)

(9.17 в)

Первый член в (9.16) представляет низкочастотную часть спектра (так называемого видеоспектра) случайного процесса на выходе нелинейной системы. Второй член соответствует части спектра выходного процесса, расположенной около частоты где сосредоточен спектр и выходного процесса. Остальные члены в (9.16) соответствуют высокочастотным частям спектра процесса на выходе нелинейной системы, расположенным около гармоник частоты

Рассмотрим более подробно низкочастотную часть спектра. Из (9.17 а) следует, что для ее вычисления необходимо определять обратные преобразования Фурье от . Чем больше , тем меньше спектральные плотности, соответствующие но тем шире становится полоса частот, занимаемая спектром. Для больших вычислить составляющую спектра, соответствующую сложно. Однако функция убывает так быстро, что можно применить подходящую лпроксимацию. Заменив переменную интегрирования на и ограничившись в разложении двумя первыми членами, получим

где

Для процесса с равномерным в полосе А спектром

Следовательно, при

На рис. 9.1 показаны составляющие низкочастотного спектра. При использовалась приближенная формула (9.18).

Рис. 9.1. Составляющие низкочастотного спектра

9.1.4. Линейный детектор.

В качестве первого примера, иллюстрирующего изложенный метод, рассмотрим, как преобразуются корреляционная функция и спектр стационарного гауссовского случайного процесса линейным детектором, характеристика которого

(постоянный множитель при принят равным единице, что несущественно, так как он играет роль масштаба и всегда может быть учтен в окончательных результатах).

Коэффициент в ряде (9.7) в рассматриваемом случае представляется интегралом

При получаем непосредственно из (9.20)

(9.20а)

При интегрированием по частям имеем

или

(9.20 в)

Подставляя (9.20 а — в) в (9.6), находим

Имея в виду, что

получаем следующее выражение для корреляционной функции стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через линейный детектор:

Заметим, что ряд (9.23), кроме первой степени нормированной корреляционной функции входного гауссовского процесса, содержит только четные степени . Он может быть просуммирован, и тогда в конечном виде

(9.24)

Из (9.24) находим среднюю мощность процесса на выходе линейного детектора . Так как квадрат постоянной составляющей согласно (7.20 а) , то дисперсия процесса на выходе линейного детектора

(9.25)

Заметим, что если в разложении (9.23) ограничиться только первыми тремя членами для подсчета средней мощности, то

откуда

(9.25 а)

что отличается от точного значения (9.25) только на 3%.

9.1.5. Линейное детектирование узкополосного процесса.

Если спектр стационарного гауссовского процесса сосредоточен в относительно узкой полосе около высокой частоты , то в соответствии с (9.15) и (9.23)

где

Ряд (9.27) может быть просуммирован:

где — полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода.

После преобразования Фурье функции , получим низкочастотную часть спектра процесса на выходе линейного детектора. Первый член в разложении (9.27) даст дискретную линию при соответствующую постоянной составляющей, а сумма преобразований Фурье четных степеней нормированной корреляционной функции — непрерывный спектр.

На рис. 9.2 показан непрерывный низкочастотный спектр процесса на выходе линейного детектора, когда спектр гауссовского стационарного процесса на входе равномерный в полосе, ширина который равна . Ряд по степеням в (8.27) сходится так быстро, что для вычисления спектра можно практически ограничиться только членом Тогда для рассматриваемого случая низкочастотная часть непрерывного спектра будет иметь вид прямоугольника с основанием . Этот приближенный спектр обозначен на рис. 9.2 штриховой линией (ср. рис. 9.1). Сравнение с точным спектром показывает вполне удовлетворительное приближение. Отношение площадей непрерывных спектров, т. е. мощности, сосредоточенной в низкочастотной области — точного и приближенного — равно 1,1, а спектральная плотность при (интервал корреляции) для точного спектра на 6% больше, чем для приближенного. В отличие от приближенного, точный низкочастотный спектр содержит частоты выше , но интенсивность их пренебрежимо мала.

Второй член — в выражении (9.26) соответствует неискаженному (с точностью до постоянного множителя) воспроизведению на выходе линейного детектора спектра стационарного гауссовского случайного процесса.

Рис. 9.2. Низкочастотный спектр процесса на выходе линейного детектора

Последующие члены в выражении (9.26) соответствуют высокочастотным частям спектра процесса на выходе линейного детектора, расположенным около четных гармоник частоты Интервал корреляции и соответственно спектральные плотности при резко убывают с возрастанием номера гармоники, так как в выражении [см. (9.28)] наименьшая степень равна . Площади непрерывных спектров (т. е. мощности), расположенных около гармоник убывают обратно пропорционально величине

9.1.5. Аппроксимация нелинейной характеристики степенным рядом.

Пусть функцию дающую аналитическое представление характеристики нелинейного элемента, непрерывную вместе со своими производными, можно разложить в ряд Маклорена

Тогда часто (например, при двухполупериодном детектировании) нелинейная характеристика аппроксимируется многочленом

коэффициенты которого должны быть равны соответствующим коэффициентам ряда (9.30). При такой аппроксимации нетрудно определить коэффициенты в ряде (9.4). Эти коэффициенты получаются из интеграла (9.5), который в рассматриваемом случае имеет вид

Интеграл в (9.32) легко вычисляется, если представить подынтегральную функцию как производную по параметру s. Тогда

где — момент порядка нормального распределения с единичной дисперсией и нулевым средним.

Выполняя дифференцирование по s и используя (3.76), находим

или после замены индекса суммирования

Необходимо иметь в виду, что при принято Далее следует усреднять произведения по времени. Обозначая

находим из (9.4) и (9.33) усредненную корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы

Дискретной части спектра соответствуют (в смысле преобразования Фурье) члены при непрерывной части — члены при

Если детерминированная часть гауссовского процесса на входе системы отсутствует, то в (9.35) исчезают все члены, за исключением тех, для которых Тогда из (9.35) находим корреляционную функцию стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через систему, нелинейная характеристика которой аппроксимируется степенным рядом (9.31):

Так как суммированием по разделяется, то получаем

Выпишем несколько первых членов суммы (9.36), пренебрегая членами при и

В выражении (9.37) первый член характеризует мощность постоянной составляющей, второй соответствует неискаженному воспроизведению входного спектра на выходе нелинейной системы, а последующие члены описывают продукты нелинейных искажений этого спектра второго, третьего и более высоких порядков.

9.1.6. Квадратичный детектор.

Используем общее соотношение (9.37) для анализа энергетических характеристик случайного процесса на выходе квадратичного детектора, когда на его вход действует гауссовский случайный процесс, представляющий сумму детерминированного сигнала и гауссовского стационарного шума. Полагая, что характеристика квадратичного детектора

находим из (9.33) при

Обозначим

(9.406)

Величина представляет среднюю мощность детерминированной части процесса; — соответственно временные корреляционные функции процесса и его квадрата

Применив введенные обозначения, можно выражение усредненной корреляционной функции случайного процесса, полученного в результате квадратичного преобразования гауссовского процесса, представить в виде [см. (9.35)]

Каждое слагаемое в (9.41) имеет ясную физическую трактовку: первое соответствует мощности постоянной составляющей, второе — дискретной части спектра, а последние два — непрерывной части спектра.

Постоянная составляющая создается как детерминированной, так и случайной частью процесса на входе, причем доля постоянной составляющей от детерминированной части равна доля от случайной части —

Дискретный спектр после квадратичного преобразования воспроизводит спектр квадрата детерминированной составляющей входного процесса. Непрерывный спектр после квадратичного преобразования содержит комбинационные гармоники от взаимных биений компонент случайной части [член ] и компонент детерминированной и случайной частей [член

При квадратичном детектировании стационарного центрированного гауссовского процесса с корреляционной функцией в соответствии с (9.41) корреляционная функция процесса на выходе детектора

причем среднее и дисперсия процесса на выходе

а нормированная корреляционная функция

9.1.7. Двухполупериодное квадратичное детектирование суммы амплитудно-модулированного сигнала и гауссовского шума.

Предположим, что детерминированная часть гауссовского процесса представляет собой амплитудно-модулированный сигнал

причем наивысшая гармоника в спектре огибающей гораздо меньше несущей частоты

Предположим, что стационарное слагаемое гауссовского процесса представляет шум, спектр которого сосредоточен в относительно узкой полосе около той же высокой частоты . Воспользуемся результатами п. 9.1.6 для решения задачи о квадратичном детектировании амплитудно-модулированного сигнала в присутствии аддитивного гауссовского шума. Очевидно, что для восстановления низкочастотной огибающей из радиосигнала детектор, помимо нелинейного элемента, должен содержать фильтирующий элемент, выделяющий низкочастотные и подавляющий высокочастотные компоненты.

Из (9.40а-в) с учетом узкополосности сигнала находим:

где — средняя мощность модулирующего сигнала;

где — временная корреляционная функция модулирующего сигнала;

Подставляя (9.44)-(9.46) в (9.41) и учитывая, что , получаем

При отсутствии сигнала из (9.47) следует

В отличие от линейного детектора [см. (9.26)], для которого выходная корреляционная функция шумов выражается бесконечным рядом по степеням , корреляционная функция шумов на выходе квадратичного детектора не содержит степени выше второй.

Использовав выражение (9.48) для корреляционной функции и произведя преобразование Фурье, можно определить спектральную плотность мощности процесса на выходе квадратичного детектора.

Среднее и дисперсия шумов на выходе квадратичного детектора определяются по формулам (9.42 а).