17.5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СМЕЩЕННЫХ ГИПОТЕЗ

17.5.1. Постановка задачи.

В § 17.4 исследовалось асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия

(17.74)

в задаче проверки гипотезы Н — выборка принадлежит распределению - против «близкой» альтернативы — выборка принадлежит распределению где . Рассмотрим теперь асимптотическое разложение статистики (17.74) при смещенных гипотезе и альтернативе: выборка принадлежит распределению (смещенная гипотеза Н или распределению ) (смещенная альтернатива К.

17.5.2. Независимая выборка.

Предположим, что при гипотозе Н плотность вероятности выборочного значения помехи удовлетворяет условию вида (17.23).

Тогда аналогично (17.50) логарифм отношения правдоподобия для независимой выборки помехи при условии (17.4) можно представить в виде

где

(17.76 а)

Следуя той же последовательности рассуждений, что и в п. 17.4.1, можно получить следующее асимптотическое разложение:

(17.78)

где

(17.79)

Статистика асимптотически нормальная и при гипотезе Н, и при альтернативе К с параметрами соответственно.

Как показано в п. 17.4.1, асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (17.74) определяется статистикой (17.59). Найдем среднее значение этой статистики при смещенной гипотезе Н, т. е. когда плотность распределения выборочного значения равна

(17.80)

Введем вместо статистику

(17.81)

где

(17.81 а)

Тогда очевидно

(17.816)

Дисперсия статистики (17.81) при гипотезе

(17.82)

где

(17.83)

Ковариация статистики при гипотезе

Следовательно,

(17.85)

где

(17.86)

Для вектора с компонентами выполняются условия двумерной центральной предельной теоремы. Поэтому при гипотезе Н предельное распределение этого вектора — нормальное, с параметрами: средние значения компонент ковариационная матрица

где

Можно показать (см. [42, с. 263]), что и при альтернативе К статистика асимптотически нормальна с параметрами

17.5.3. Независимая последовательность векторных выборок.

Результаты п. 17.5.2 обобщаются на независимую последовательность векторных выборок.

Используя обозначения п. 17.4.2 и сформулированные там условия, запишем аналогично (17.62)

(17.88 а)

Компоненты вектора

(17.89)

где

(17.89 б)

Статистика асимптотически нормальна с нулевым средним и дисперсией при гипотезе и со средним и той же дисперсией при альтернативе К. Элементы матрицы В размером

(17.90)

где определены согласно (17.60), а величины получаем из (17.27) заменой функции f на функцию g. Статистика (17.88) также асимптотически нормальна и при гипотезе Н, и при альтернативе К с одинаковыми дисперсиями, равными и со средними значениями при гипотезе при альтернативе К.

Найдем среднее значение статистики (17.63) при гипотезе

(17.91)

Введем центрированные статистики

(17.92)

где

(17.92 а)

Тогда

Ковариация статистик при гипотезе Н

(17.93)

Так как при независимы, то

(17.94)

где

Подставляя (17.94) в (17.93), получаем

(17.95)

Ковариация статистик при гипотезе

(17.96)

Далее

(17.97)

где

Подставляя (17.98) в (17.96) и учитывая (17.896), находим

(17.98)

Можно доказать (см. [56]), что векторная статистика с компонентами (17.92), при гипотезе Я асимптотически нормальная с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей, элементы которой определены в (17.95), будет также асимптотически нормальной и при альтернативе К с той же ковариационной матрицей и вектором средних где N — матрица с элементами, определяемыми согласно (17.98).

17.5.4. Многосвязная марковская последовательность.

Предположим, что переходная плотность вероятности многосвязной марковской последовательности удовлетворяет условиям, указанным в п. 17.2.3. Тогда аналогично (17.64) асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия

(17.99)

где — вектор с компонентами

(17.100)

— информационная матрица Фишера, Q — положительно определенная матрица с элементами, определенными в (17.66), и

Статистика

(17.102)

асимптотически нормальна и при гипотезе Н, и при альтернативе К с параметрами соответственно |см. п. 17.4.3).

Среднее значение статистики (17.68) при гипотезе Я

(17.103)

Введем также центрированную статистику

(17.104)

Дисперсия статистики при гипотезе Н

Далее

Обозначая элементы матриц

(17.105 а)

получаем при

(17.106)

Ковариация статистик при гипотезе Н (при

(17.107)

где — матрица размером с элементами

Если существуют конечные пределы

(17.1086)

то для векторной статистики с компонентами выполняются условия двумерной центральной предельной теоремы. Поэтому при гипотезе Н предельное распределение этого вектора нормальное с параметрами: средние значения компонент ковариационная матрица

Можно доказать (см. [42], с. 263), что статистика и при альтернативе К асимптотически нормальна с параметрами