4.5. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.5.1. Вероятностные характеристики разности двух значений случайного процесса.

Исследуем локальные свойства случайных процессов — непрерывность и дифференцируемость. Так как понятия непрерывности и дифференцируемости случайного процесса связаны со сходимостью (по некоторому критерию, как отмечалось в п. 3.4.1) последовательности случайных величин при , то необходимо предварительно найти некоторые вероятностные характеристики (среднее, корреляционную функцию, спектральную плотность мощности) разности

Рис. 4.11. Вычитающее устройство с линией задержки

Впрочем, эти характеристики могут иметь и самостоятельные значения, так как процесс соответствует процессу на входе элементарного устройства, изображенного на рис. 4.11, которое часто используется в технических системах.

Нетрудно доказать, что среднее и корреляционная функция разности

(4.123)

Из (4.124) находим выражение для среднего квадрата процесса :

(4.125)

Взаимные корреляционные функции процессов

(4.1266)

Если стационарный в широком смысле случайный процесс, то из (4.123) — (4.126) следует

(4.127)

Спектральная плотность мощности процесса связана простым соотношением со спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле процесса . Подставляя (4.128) в (4.80), получаем

или

(4.131)

В соответствии с (4.94) и (4.130 а) взаимная спектральная плотность

или

(4.132)

Действительная и мнимая части этого спектра соответственно (4.133а)

(4.1336)

4.5.2. Непрерывный случайный процесс. Случайный процесс называется непрерывным в момент времени t в среднеквадратическом если

(4.134)

Случайный процесс, непрерывный при всех значениях t на некотором интервале, называют непрерывным на этом интервале.

Из (4.125) следует, что необходимым и достаточным условием непрерывности случайного процесса в точке t в среднеквадратическом является непрерывность его корреляционной функции при

(4.135)

Для стационарного в широком смысле случайного процесса из (4.129) следует, что необходимым и достаточным условием его непрерывности всюду (т. е. при любом t) в среднеквадратическом является непрерывность корреляционной функции при иными словами, ограниченность средней мощности процесса

(4.136)

Из условия (4.136) следует, что спектральная плотность мощности непрерывного случайного процесса должна убывать при быстрее, чем

Докажем, что корреляционная функция непрерывного в среднеквадратическом случайного процесса непрерывна при любом значении аргумента . Так как что и доказывает приведенное выше утверждение. Отсюда также следует, что для непрерывности корреляционной функции стационарного в широком смысле случайного процесса при любом необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в начале координат

4.5.3. Производная случайного процесса.

Случайный процесс дифференцируем в точке t в среднеквадратическом если существует такая случайная функция называемая производной в среднеквадратическом процессе в точке t, что

Из определения (4.137) производной случайного процесса следует, что для формулировки условий дифференцируемости случайного процесса и расчета вероятностных характеристик его производной необходимо исследовать предельные вероятностные характеристики последовательности случайных величин при .

Дифференцируемость в среднеквадратическом случайного процесса обеспечивается непрерывностью в среднеквадратическом ее производной Поэтому определим корреляционную функцию производной

(4.138)

где определяется согласно (4.124). Разложим первые три члена правой части (4.124) в ряд Тейлора:

Подставляя эти выражения в правую часть (4.138) и учитывая, что получаем после перехода к пределу

(4.139)

Формула (4.139) устанавливает связь между корреляционными функциями случайного процесса и его производной. Из этой формулы следует, что непрерывность второй смешанной производной корреляционной функции случайного процесса при является необходимым и достаточным условием его дифференцируемости в среднеквадратическом.

Среднее значение производной случайного процесса

(4.140)

т. е.

Определим взаимную корреляционную функцию дифференцируемого в среднеквадратическом случайного процесса и его производной . Разлагая правую часть (4.126 а) в ряд Тейлора по переменной получаем

откуда

т. е.

4.5.4. Корреляционные и спектральные характеристики производной стационарного в широком смысле процесса.

Если случайный процесс стационарен (по крайней мере, в широком смысле), то, разлагая правую часть (4.128) в ряд Тейлора, получаем для корреляционной функции производной следующее выражение:

или

(4.142)

Из (4.131) предельным переходом находим также спектральную плотность мощности производной

(4.143)

Формулу (4.143) можно также получить из (4.142), если интеграл (4.83) продифференцировать дважды по параметру . Дисперсия (средняя мощность) производной

(4.144)

Так как при корреляционная функция всегда достигает максимума, то .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости в среднеквадратическом стационарного в широком смысле случайного процесса является конечная средняя мощность производной. Это условие, как видно из (4.144), означает также, что интеграл , т. е. спектральная плотность мощности процесса, на высоких частотах должна убывать быстрее, чем .

Из (4.140) следует, что среднее значение производной стационарного в широком смысле случайного процесса равна нулю, т. е. эта производная — всегда центрированный случайный процесс. Отношение средних мощностей производной и процесса

(4.145)

Для узкополосного процесса, спектр которого сосредоточен в окрестности высокой частоты из (4.145) заменой получаем (см. п.4.4.1)

где — исходный спектр, смещенный на в область нижних частот. Если спектр симметричен относительно частоты то второе слагаемое в (4.146 а) обращается в нуль и тогда

(4.146 б)

Второе слагаемое в (4.146 б) пропорционально квадрату ширины полосы спектра процесса

Взаимная корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса и его производной (см. (4.141) при

(4.147)

Из (4.132) предельным переходом находим также взаимную спектральную плотность процесса и его производной:

(4.148)

т. е.

Формулу (4.148) можно получить иначе, дифференцируя интеграл (4.83) по параметру

(4.149)

Тогда (4.148) следует из (4.95).

Заметим, что взаимный спектр процесса и его производной — чисто мнимая величина. Соответственно этому их взаимная корреляционная функция — нечетная, т. е. При из (4.149) следует

(4.150)

Таким образом, взаимная корреляционная функция дифференцируемого стационарного в широком смысле случайного процесса и его производной в совпадающие моменты времени всегда равна нулю, т. е. случайная функция и ее производная в совпадающие моменты времени некоррелированы.

Заметим также, что производная стационарного случайного процесса стационарна и стационарно связана с

4.5.5. Корреляционная функция и спектр высших производных.

Если случайный процесс дифференцируем в среднеквадратическом, то называется второй производной в среднеквадратическом процессе в точке t. Аналогично можно определить производные более высокого порядка.

Для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная при смешанная производная порядка от корреляционной функции процесса

Корреляционная функция производной стационарного в широком смысле процесса

(4.152)

а ее спектральная плотность мощности

(4.153)

В этом случае производная порядка процесса существу если производная его корреляционной функции непрерывна при или (что эквивалентно) спектр на высоких частотах убывает быстрее, чем

Нетрудно показать, что взаимная корреляционная функция производных процесса в общем случае

а для стационарных в широком смысле процессов

4.5.6. Ортогональное разложение центрированного случайного процесса.

Рассмотрим непрерывный в среднеквадратическом смысле случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией . Введем в качестве координат случайного процесса случайные величины (интеграл в среднеквадратическом 1)

(4.156)

где — собственные функции и собственные числа интегрального уравнения [см. (4.58)],

(4.157)

Эти случайные величины имеют, очевидно, нулевые средние. Кроме того, они попарно некоррелированы и имеют одинаковые, равные единице, дисперсии (см. п. 4.3.2), что следует из ортонормированности собственных функций интегрального уравнения (4.157):

Покажем теперь, что при любом принадлежащем интервалу , справедливо (в среднеквадратическом смысле) следующее равенство:

(4.158)

Рассмотрим последовательность случайных процессов

и определим величины

Используя полученные выражения, находим

Но из (4.59) следует, что при правая часть (4.159) стремится к нулю, т. е. последовательность сходится в среднеквадратическом к случайному процессу

Разложение (4.158) центрированного случайного процесса в ортогональном детерминированном базисе со случайными центрированными, попарно некоррелированными коэффициентами (координатами) называют ортогональным (или разложением Карунена — Лоева).

Отметим, что можно получить разложение случайного процесса по произвольной совокупности ортогональных детерминированных функций, но при этом координаты процесса будут, вообще говоря коррелированы. Только при специальном выборе базиса, согласованного с корреляционными свойствами процесса [см. (4.157)], координаты становятся некоррелированными. Например, для тригонометрического базиса получаем представление случайного процесса рядом Фурье (в среднеквадратическом)

коэффициенты которого, вообще говоря, коррелированы.

4.5.7. Ортогональное разложение нецентрированного случайного процесса.

Если среднее значение отлично от нуля и равно то разложение (4.158) следует использовать для центрированного случайного процесса, т. е.

(4.160)

причем ядром интегрального уравнения (4.157) служит корреляционная функция центрированного процесса.

Детерминированную функцию на интервале можно представить в виде ортогонального разложения в любом базисе и, в частности, в том же, что и во втором слагаемом в (4.160):

(4.161)

где

(4.161 а)

Предполагается, что —

Объединяя (4.160) и (4.161), можно ортогональное разложение нецентрированного случайного процесса представить в виде

(4.162)

4.5.8. Ортогональное разложение комплексного случайного процесса.

В некоторых задачах потребуется обобщение ортогонального разложения на комплексный случайный процесс Аналогично (4.57) корреляционную функцию комплексного случайного процесса можно представить в виде

где черта сверху указывает на комплексно-сопряженную величину, а — собственные функции и собственные числа интегрального уравнения (4.58) с ядром , причем

Вводя некоррелированные комплексные координаты центрированного случайного процесса

(4.163)

приходим к следующему ортогональному разложению

(4.164)

Если среднее процесса отлично от нуля, то аналогично (4.162) имеем

(4.165)

где

4.5.9. Распространение теоремы Котельникова на случайные процессы.

Рассмотрим следующую систему ортогональных функций, заданную на всей действительной оси

(4.166)

Вследствие фильтрующего свойства функций (4.166) (см., например, Приложение VI в [1])

т. е. координаты сигнала в базисе (4.166) представляют последовательность значений случайного процесса в моменты времени, следующие через равные интервалы

Если спектральная плотность мощности случайного процесса стационарного в широком смысле и непрерывного в среднеквадратическом, ограничена полосой частот , т. е.

(4.168)

то имеет место следующая интерполяционная формула (в среднеквадратическом)

(4.169)

Формула (4.169), обобщающая известную теорему Котельникова (теорему отсчетов) на случайные процессы, означает, что непрерывный в среднеквадратическом смысле процесс с ограниченным спектром полностью определяется счетным множеством случайных величин (координат случайного процесса)

Для доказательства формулы (4.169) следует убедиться, что корреляционные функции правой и левой частей этой формулы совпадают. Корреляционная функция правой части

Но так как спектральная плотность ограничена полосой то по теореме Котельникова для детерминированных функций имеет место следующая интерполяционная формула для ее преобразования Фурье, т. е. для корреляционной функции процесса

Сопоставление формул (4.170) и (4.171) завершает доказательство справедливости разложения в среднеквадратическом смысле случайного процесса в ряд (4.169).

Заметим, что координаты (4.167), вообще говоря, коррелированы, так как

Исключение составляет процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна в полосе частот так как в этом случае и, следовательно, согласно (4.172) , т. е. координаты процесса в этим случае некоррелированы.