15.7. ЗАДАЧИ

15.1. а) Показать, что согласованным фильтром для постоянного сигнала является идеальный интегратор с импульсной характеристикой

где — единичный скачок;

б) показать, что для импульсного синусоидального сигнала

импульсная характеристика согласованного фильтра равна

15.2. Показать, что плотность вероятности суммы квадратов N независимых случайных величин, каждая из которых распределена по обобщенному рэлеевскому закону

подчиняется нецентральному -распределению с параметром нецентральности а:

Получить из (4) частный случай при распределения суммы квадратов N независимых рэлеевских случайных величин (-распределение с степенями свободы)

15.3. Используя результаты задачи (15.2) найти вероятности ложной тревоги а и пропуска сигнала при обнаружении по алгоритму (15.164) синусоидеального сигнала (отношение амплитуды сигнала с среднеквадратичному значению шума мало). Показать, что при произвольном

где — неполная гамма-функция,

причем последний интеграл представляет табулированное интегральное обобщенное распределение Рэлея [4].

15.4. Определить оптимальный по критерию Неймана — Пирсона аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивного гауссовского белого шума со спектральной плотностью при условии, что амплитуда а распределена по рэлеевскому закону с параметром <эта, а фаза равномерна на интервале причем амплитуда и фаза независимы, если наблюдается реализация на интервале (0, Т) и вероятность ложной тревоги должна быть не больше, чем а.

Показать, что согласно этому алгоритму принимается решение, что сигнал присутствует, если

где с (15.150)]. Доказать, что вероятность правильного обнаружения и вероятность ложной тревоги связаны соотношением

15.5. Исследовать оптимальный алгоритм обнаружения на фоне аддитивной гауссовской помехи с нулевым средним и корреляционной матрицей М квазидетерминированного сигнала общего вида

где - заданная система линейно-независимых детерминированных функций, — вектор случайных параметров с заданным распределением Гипотеза состоит в том, что наблюдаемая выборка представляет только помеху, а альтернатива — что наблюдаемая выборка представляет смесь сигнала с помехой. Доказать, что обобщенное отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче имеет вид

где

и — прямоугольная матрица размером с элементами . Сравнить (10) при с (15.24).

15.6. В условиях задачи (15.5) предположить, что

и доказать, что при условии (12) формула (9) преобразуется к виду

Указание: представить в виде

и вычислить свертку двух нормальных распределений, учитывая симметричность матрицы В.

15.7. Вычислить усредненный функционал отношения правдоподобия (15.133) для случая, когда плотность вероятность фазы равна

и показать, что

где

Убедиться, что при (равномерное распределение фазы) формула (15) совпадает с (15.134). Доказать, что величина при гипотезе подчиняется обобщенному распределению Рэлея.

15.8. Показать, что вероятность правильного обнаружения синусоидального сигнала постоянной амплитуды при когда используется алгоритм (15.185) может быть определена по формуле

где -неполная гамма-функция и порог с определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.

15.9. Доказать, что оптимальный по критерию Неймана — Пирсона амплитудно-фазовый дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения узкополосного сигнала на фоне аддитивной, центрированной узкополосной помехи, спектр которой симметричный относительно частоты имеет вид

где — квадратурные составляющие наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса, К — общая ковариационная матрица выборок и , причем при гипотезе Но (сигнала нет) где — корреляционные функции квадратурных составляющих.