18.4. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ

18.4.1. Синтез алгоритма.

Рассмотрим задачу обнаружения на фоне аддитивной независимой помехи с плотностью распределения квазидетерминированного сигнала где

(18.69)

с — вектор, вообще говоря, зависимых случайных мешающих параметров, — заданная вектор-функция. Задача состоит в проверке гипотезы (сигнала нет), против альтернативы (сигнал присутствует). Амплитуда сигнала X является, таким образом, информативным параметром.

После временной дискретизации наблюдаемой реализации в моменты получаем независимую выборку , причем значения сигнальной функции

(18.69 а)

Если выполнены условия теоремы 1 (см. п. 17.4.1), то можно записать асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия при фиксированном векторе с и при

(18.70)

где а функция и информация по Фишеру определяются согласно (17.19), (17.22). Элементы матрицы А размером

(18.71)

Как и в (17.58), остаточный член сходится по вероятности при к нулю и при гипотезе Н, и при альтернативе К.

Распределение статистики (18.70) при условии

(18.72)

асимптотически нормальное, причем параметры предельного распределения равны при гипотезе Н и при альтернативе К.

Векторная -мерная статистика

(18.73)

также асимптотически нормальна и при гипотезе, и при альтернативе с параметрами соответственно.

Пусть — совместная -мерная плотность вероятности случайных параметров квазидетерминированного сигнала. Опуская в (18.70) остаточный член и усредняя отношение правдоподобия по векторному параметру с, получаем

(18.74)

где векторная статистика определяется согласно (18.73). Распределение статистики усредненного отношения правдоподобия уже не является асимптотически нормальным.

Асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи можно представить в виде

(18.75)

где порог с определяется из уравнения

(18.76)

при заданной вероятности а ложной тревоги. Вероятность пропуска сигнала

(18.77)

При заданных величинах а и уравнения (18.76) и (18.77) представляют систему уравнений относительно неизвестных констант с и у.

18.4.2. Структурная схема алгоритма.

Обнаружитель, функционирующий согласно алгоритму (18.75), состоит из трех блоков (рис. 18.8). Первый блок представляет многоканальное устройство для вычисления компонент векторной статистики (18.73)

(18.78)

Рис. 18.8. Схема асимптотически оптимального обнаружителя квазидетерминированного сигнала на фоне независимой помехи

Структура каждого канала в этом устройстве подобна структуре, изображенной на рис. 18.1 [см. первые два блока на рис. 18.1 с очевидной заменой в канале сигнала s(t) базисной функцией ]. Во втором блоке по известному априорному распределению случайных параметров сигнала вычисляется усредненное отношение правдоподобия . Третий блок — устройство сравнения с порогом, значение которого определяется в результате решения системы уравнений (18.76), (18.77). Как и в обнаружителе детерминированного сигнала, от распределения помехи зависят характеристика нелинейных элементов многоканального устройства и значение порога.

18.4.3. Нормальное распределение случайных параметров сигнала.

Предположим, что совместная плотность вероятности до случайных параметров сигнала — нормальная с нулевым средним и диагональной ковариационной матрицей Вычисляя интеграл (18.74) как свертку нормальных плотностей (см., например, [18, с. 24]), получаем

Усредненное отношение правдоподобия (18.79) монотонно зависит от статистики

(18.80)

При ортонормированных базисных функциях 1 7

Из (18.71) и (18.81) следует, что матрица А — единичная, и тогда из (18.80) находим

(18.82)

Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала рассматриваемого вида запишем следующим образом:

(18.83)

Из результатов, приведенных в п. 18.4.1, следует, что статистика в левой части неравенства (18.83) представляет сумму квадратов асимптотически нормальных независимых случайных величин с параметрами 0; 1 при гипотезе при альтернативе К для фиксированных значений компонент вектора с.

Следовательно, эта статистика при подчиняется -распределению с степенями свободы при гипотезе Н и нецентральному -распределению с степенями свободы с параметром нецентральности

(18.84)

при альтернативе К. Случайная величина также подчиняется -распределению с степенями свободы.

Для заданной вероятности а ложной тревоги в (18.83)

где - процентная точка -распределения с степенями свободы.

Прежде чем определять вероятность пропуска сигнала, необходимо усреднить плотность нецентрального -распределения по случайному параметру нецентральности . Используя соотношение (см. [43, задача 8.11])

(18.86)

получаем

(18.87)

где

Подставляя (18.87 а) в (118.87) с учетом (18.86), получаем

(18.88)

Вероятность пропуска сигнала

(18.89)

18.4.4. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения модулированного сигнала со случайной фазой.

Рассмотрим сигнал

(18.90)

где - медленно меняющиеся по сравнению с детерминированные процессы. Обозначая

(18.91 б)

замечаем, что при случайной начальной фазе квазидетерминированный сигнал (18.90) можно представить в форме (18.69) при

Векторная статистика (18.78) в рассматриваемом случае двумерная и ее компоненты

(18.92 б)

где

(18.92 в)

Совместное распределение статистик асимптотически нормальное с ковариационной матрицей , причем в соответствии с (18.71) элементы матрицы А

(18.93 б)

где

(18.93 г)

— мощность квазидетерминированного сигнала (18.90). Условие (18.93 в) означает асимптотическую независимость компонент векторной статистики. Средние значения этих компонент равны нулю при гипотезе Н, а при альтернативе К (см. п. 18.4.1)

(18.94 а)

Предположим, что фаза распределена равномерно на интервале . Тогда совместная плотность распределения параметров [см. (18.91 в) и п. 3.1.2]

(18.95)

Из (18.93а и 6) следует

Подставляя (18.92 а, б), (18.95), (18.96) в (18.74), находим усредненное отношение правдоподобия

откуда следует

(18.97)

Так как усредненное отношение правдоподобия - монотонная функция статистики , то асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения рассматриваемого квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи можно записать в виде

(18.98)

где определены согласно (18.92 а и б).

При гипотезе Н статистика в левой части неравенства (18.98) представляет сумму двух асимптотически нормальных случайных величин с параметрами 0, 1, которая при подчиняется -распределению с двумя степенями свободы (т. е. экспоненциальному распределению). Поэтому в (18.98) при заданной вероятности а ложной тревоги порог

(18.99)

При альтернативе К статистика в левой части неравенства (18.98) при подчиняется нецентральному -распределению с двумя степенями свободы и с параметром нецентральности

(18.100)

Если -процентная точка указанного распределения, то рабочая характеристика алгоритма (18.98)

(18.101)

18.4.5. Структурная схема алгоритма.

Из (18.98) следует, что дискретно-аналоговый асимптотически оптимальный обнаружитель модулированного сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой на фоне аддитивной независимой помехи представляет некогерентный приемник с двумя каналами (рис. 18.9), в которых вычисляются суммы (18.92 а и б), а затем, как обычно при некогерентном приеме, следуют квадраторы. Выходные сигналы каналов суммируются, а накопленная в конце наблюдения сумма сравнивается с порогом.

Рис. 18.9. Схема асимптотически оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой

Рассматриваемая структура отличается от структуры обнаружителя сигнала со случайной фазой на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи только наличием в каждом из двух каналов нелинейного безынерционного преобразователя с характеристикой зависящей от распределения помехи.