9.3. АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТОДОМ ПРОИЗВОДНЫХ

9.3.1. Общие соотношения.

Рассмотрим вновь нелинейное преобразование в системе с характеристикой суммы детерминированного процесса и стационарного центрированного гауссовского процесса с дисперсией и нормированной корреляционной функцией . Для определения корреляционной функции процесса на выходе системы используем метод производных (см. п. 8.15). В этом случае имеет значение зависимость корреляционной функции процесса на выходе системы от которую обозначим . Для рассматриваемой задачи из (8.29) находим

где

Таким образом, вычисление корреляционной функции процесса, возникающего после нелинейного безынерционного преобразования гауссовского случайного процесса, сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения порядка вида , где представляют правую часть (9.73).

Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, необходимо задать k граничных условий. Такими условиями являются значения функции и ее производных по R до порядка при (т. е. при ) или при (т. е. при ). Из (9.73) непосредственно получим

где

Если и из (9.73) следует

(9.746)

В этом случае корреляционная функция процесса, возникающего после нелинейного преобразования гауссовского процесса, представляет полином степени от

Так, используя (9.74 б) нетрудно получить формулу (9.43) для двухполупериодного квадратического детектора при граничных условиях

Пусть функция составлена из кусков полиномов, образующих в местах стыка угловые точки. Тогда при достаточно большом k производная будет равна сумме дельта-функций и вычисление интеграла (9.73) становится элементарным, если воспользоваться фильтрующим свойством дельта-функции и ее производных (см. Приложение I).

9.3.2. Взаимная корреляционная функция.

Формулу типа (9.73) можно использовать также для вычисления взаимной корреляционной функции на выходах двух нелинейных систем, если на их входах действуют гауссовские процессы. Для этого под знаком интеграла нужно место подставить , где — характеристики систем. В частном случае находим взаимную корреляционную функцию процессов на входе и выходе нелинейной системы, когда на ее вход действует стационарный гауссовский процесс [см. (9.73), ]:

где — двумерная плотность нормального распределения. Интегрируя по переменной получаем

Правая часть (9.75) не зависит от . Поэтому, учитывая, что , находим . Если , то [см. (6) в задаче (8.2)]

9.3.3. Идеальный ограничитель.

Проиллюстрируем метод производных несколькими примерами определения корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы, когда на входе действует стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним, дисперсией и нормированной корреляционной функцией .

Для идеального ограничителя с характеристикой (9.64) при и по формуле (9.73) находим

Так как , то

При симметричном ограничителе с характеристикой и так как постоянная составляющая процесса на выходе симметричного ограничителя равна нулю, то корреляционная функция на выходе

(9.776)

что совпадает с (9.69).

9.3.4. Линейный детектор.

Для линейного детектора с характеристикой по формуле (9.73) находим

Общее решение уравнения (9.78)

(9.78 а)

Из граничных условий определяем константы

откуда следует, что . Учитывая полученные значения констант и находим из (9.78 а)

(9.79)

что совпадает с (9.24).

Легко доказать, что для двуполупериодного линейного детектора с характеристикой можно использовать формулу (9.79), если увеличить в четыре раза множитель перед квадратной скобкой (см. задачу 9.5).

9.3.5. Однополупериодный квадратичный детектор.

Рассмотрим далее однополупериодный квадратичный детектор, характеристика которого

В этом случае и при условии, что гауссовский процесс на входе детектора стационарный с нулевым средним, по формуле (9.73) получим

Начальные условия имеют вид

Интегрирование уравнения (9.80) выполняется в элементарных функциях

(9.81)

9.3.6. Сглаженный ограничитель.

Рассмотрим пример, который указывает на возможность вычисления правой части уравнения (9.73) без применения дельта-функций. Найдем корреляционную функцию процесса на выходе сглаженного ограничителя с характеристикой, описываемой функцией

когда на входе этого ограничителя действует центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией и нормированной корреляционной функцией . В этом случае

Тогда из (9.73) находим

В результате вычисления интеграла находим

В силу симметрии имеем . Тогда

(9.83)

При формула (9.83) переходит в выражение нормированной корреляционной функции процесса на выходе идеального симметричного ограничителя (см. (9.77 б) при ).