9.2. АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

9.2.1. Общие соотношения.

Предположим, что характеристика нелинейной системы допускает представление контурным интегралом (8.23). Воспользуемся формулой (8.25) для корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы при условии, что на ее вход действует случайный процесс, представляющий аддитивную смесь детерминированного сигнала и гауссовского центрированного стационарного процесса с дисперсией и нормированной корреляционной функцией

Подставляя в (8.25) выражение двумерной характеристической функции случайного процесса {см. (5.10)], получаем

В интеграле (9.49) только множитель содержит величины зависящие от времени. Поэтому при усреднении во времени корреляционной функции усредняется только этот множитель. Обозначая

находим из (9.49) следующее выражение усредненной корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы

Рассмотрим более подробно частный случай, когда . Из (9.50) находим

На основе известной в теории функций Бесселя теоремы сложения, можно представить (9.52) в виде ряда

где

Если теперь подставить (9.53) в (9.51) и использовать, кроме того, разложение сомножителя в ряд

то в двойном интеграле (9.51) окажется возможным разделить переменные интегрирования и представить усредненную по времени корреляционную функцию в виде

где

В сумме (9.54) группа членов, для которых соответствует дискретной части спектра. Величина равна интенсивности дискретной части этого спектра на частоте Остальные члены при соответствуют непрерывной части спектра.

Если в (9.55) положить , то найдем корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы, когда на его вход действует стационарный гауссовский процесс. В этом случае при и

где

Заметим, что если в (9.57) заменить его интегральным преобразованием (8.24), а также воспользоваться соотношением

(9.57 а)

то можно убедиться, что величина в разложении (9.56) совпадает с коэффициентом разложения (9.7), полученным прямым методом.

Из (9.54) видно, что определение спектральной плотности мощности суммы периодического сигнала и стационарного гауссовского процесса после нелинейного преобразования сводится к вычислению преобразований Фурье от степеней нормированной корреляционной функции гауссовского процесса и интегралов (9.55), которые зависят только от характеристики нелинейной системы.

9.2.2. Узкополосный гауссовский процесс.

Предположим, что спектр стационарной части гауссовского процесса сосредоточен в узкой полосе около частоты гармонического сигнала. Тогда и из (9.54) получаем

Заменяя степени косинусов суммой косинусов кратных дуг по формулам (9.11 а,б) и совершая те же преобразования, что и в п. 9.1.2, нетрудно преобразовать (9.58) к выражению, аналогичному (9.15):

где

(9.60 а)

Спектральная плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы получается преобразованием Фурье от Дискретная часть этого спектра соответствует первой сумме в (9.59), остальные члены этого выражения описывают непрерывную часть.

9.2.3. Однополупериодный детектор.

Рассмотрим однополупериодный детектор, характеристика которого имеет вид

Соответствующая функция равна , а контур с совпадает с действительной осью, огибая лишь начало координат по полуокружности в нижней полуплоскости. В этом случае коэффициенты (9.55) выражаются интегралами вида

которые можно вычислить, разлагая в степенные ряды по заменяя , после чегозадача сводится к вычислению контурных интегралов

совпадающих с известным интегральным представлением гамма-функции.

Если сигнал отсутствует величины при а при в соответствии с (9.62)

и при [см. 9.57 а)].

9.2.4. Идеальное ограничение стационарного гауссовского шума.

Рассмотрим корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса на выходе идеального ограничителя, характеристика которого является частным случаем (9.61) при , т. е.

при условии, что ограничению подвергается стационарный центрированный гауссовский шум. Из (9.63) для находим при 1

Постоянной составляющей соответствует член при равный [ср. (13) в задаче (8.4)]

где — интеграл Лапласа.

Подставляя (9.65) и (9.66) в (9.56), определяем корреляционную функцию процесса на выходе идеального ограничителя:

При учитывая получаем

Просуммировав ряд (9.68), находим

(9.69)

Из (9.69) следует, что нормированная корреляционная функция процесса на выходе ограничителя

(9.69 а )

9.2.5. Идеальное ограничение узкополосного гауссовского шума.

Пусть на вход идеального ограничителя действует узкополосный стационарный гауссовский шум, спектр которого расположен в узкой полосе вблизи частоты Тогда, используя (9.55) (при ), (9.59) и (9.65), находим корреляционную функцию процесса на выходе идеального ограничителя

Из (9.70) преобразованием Фурье можно определять спектр предельно ограниченных шумов, который имеет характерный для нелинейных преобразований вид (кроме постоянной составляющей), т. е. состоит из полосы в области нижних частот и полос, расположенных около частоты и гармоник этой частоты (см. рис. 8.1).

Исследуем подробнее ситуацию, когда среднеквадратическое значение шумов много больше высоты уровня ограничения . Так как полином при четном k содержит только четные, а при нечетном — только нечетные степени то, пренебрегая степенями выше первой, для рассматриваемого случая получаем

Из (9.71) следует, что при спектр ограниченных шумов сосредоточен только в окрестности несущей частоты и ее нечетных гармоник (см. члены, заключенные в первую фигурную скобку). При но появляются комбинационные спектральные составляющие в видеополосе и в полосах, расположенных около четных гармоник, но энергия, соответствующая этим частям спектра, много меньше, чем в полосах около нечетных гармоник .

Спектр в окрестности несущей частоты определяется преобразованием Фурье выражения