Упражнения 2.4.

1. Пусть (в девятиричной системе).

а) Представить в виде дроби (найти сумму ряда ).

б) Обозначим через Р отображение Пеано отрезка [0,1] на квадрат Определить место точки в квадрате.

2. Выполнить упр. 1 для точки (в девятиричной системе).

3. Найти четыре представления Пеано для точек:

4. Определить все точки единичного квадрата представление Пеано которых единственно. Какие точки имеют два различных представления? Какие точки имеют четыре различных представления?

5. Найти геометрическое место точек единичного квадрата в представлении Пеано которых отсутствует цифра 5. Является ли это множество фракталом? Если да, то какова его размерность?

6. а) Представить точки равностороннего треугольника в системе счисления по основанию 4, аналогично тому, как это делается в построении Пеано. Воспользоваться схемой на рис. 2.27 в качестве подсказки.

б) С помощью полученного представления описать точки ковра Серпинского.

7. Найти представление Пеано точек единичного квадрата, содержащихся в пыли Серпинского (рис. 2.9).

8. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать модели водораздела на основе кривых Пеано (см. [31, с. 70-73]).