8.3. Множество Мандельброта

Мы уже убедились в том, что множества Жюлиа функции с обладают большим разнообразием. Действительно, для каждого нового значения с мы получаем впечатляющие изображения. Тем не менее, на самом деле существуют всего два типа множеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции с либо связно, либо вполне несвязно. Конечно, они могут выглядеть совершенно различным образом, даже принадлежа к одному и тому же типу. Некоторые связные множества Жюлиа выглядят как простые замкнутые кривые, которые являются фракталами, как это имеет место в случае . Существуют также связные множества Жюлиа, которые не являются простыми замкнутыми кривыми, как, например, в случае (рис. 8.1). С другой стороны, все вполне несвязные множества Жюлиа обладают тем свойством, что они представляют собой «канторову пыль». Это мы наблюдаем на рис. 8.9, 8.10 и 8.11.

Множество Мандельброта (см. рис. 8.12, 8.13 и рис. 1 вклейки) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции с. Каждая точка в множестве Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа связно. Каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение с, для которого вполне несвязно. В определении множества Мандельброта об этом ничего не говорится, но основная теорема настоящего параграфа говорит именно об этом.

Множество Мандельброта М для полинома определяется как множество всех с , для которых орбита точки 0 ограничена, то есть

Равносильное определение записывается как

Равносильность этих определений следует из того, что

а значит, существует такое , что из следует

Рис. 8.12. Множество Мандельброта для

Если для некоторого по имеет место неравенство то для всех

то есть

Выбор точки 0 в качестве начальной станет ясен из доказательства основной теоремы. Это связано с тем обстоятельством, что точка 0 — единственная критическая точка то есть единственная точка, в которой производная обращается в нуль. Определение множества Мандельброта М, приведенное выше, является рабочим, то есть оно может быть прямо использовано для написания программы, определяющей принадлежность точки множеству Мандельброта. Задача проверки орбит на ограниченность упрощается при использовании следующей теоремы.

Теорема 8.3.3. Если , то орбита z устремляется к . В частности, из этого следует, что точка с не принадлежит М.

Рис. 8.13. Окно множества Мандельброта около точки

Доказательство. Положим , где . Тогда

В частности, и при итерировании получаем:

Вследствие этого, при . Этим доказано первое утверждение. Относительно второго утверждения: так как орбита точки с стремится к бесконечности и то орбита нуля также стремится к бесконечности.

Объединяя полученный результат с теоремой 8.1.1, получаем, что проверять нужно только точки Причем в случае если орбита достигает состояния, когда ее величина превосходит 2, то это означает, что она стремится к бесконечности, и следовательно, проверяемая точка не принадлежит М. Точка — единственная точка окружности которая принадлежит множеству Мандельброта.

Несложно написать программу для построения множества Мандельброта. Единственная проблема, которая может возникнуть при использовании этой программы на малых ЭВМ — большой объем вычислений. Для того чтобы получить приемлемое изображение множества желательно отображать по меньшей мере пикселов.

Более удачные визуализации получаются при использовании окна 400 х 400 пикселов и более. На рис. 8.12 приведено изображение множества Мандельброта размером 576 х 576 пикселов. Итеративные вычисления для определения того, является ли орбита захваченной или она стремится к бесконечности, должны выполняться для каждого пиксела, то есть для каждой пары (х,у), принадлежащей решетке точек, которые следует проверить. Приводимая ниже программа позволяет организовать получение результатов по столбцам (все значения у при одном фиксированном ). Это позволяет избежать хранения огромной матрицы, представляющей выход полностью, и обычно требует значительно меньше времени, чем получение результата для каждой орбиты, по мере того как вычисления для нее завершаются. Применяемый тест на ограниченность орбиты следующий: для . Лучшие результаты можно получить за счет значительного увеличения времени вычислений, то есть за счет увеличения с 20 до 50, 100 и более.

Алгоритм 8.3.3. (МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА)

Назначение: строит множество Мандельброта для .

Вход:

Выход:

графический экран множества Мандельброта.

Инициализация:

графический экран для окна

Шаги:

Для доказательства основной теоремы о множестве Мандельброта воспользуемся следующей леммой.

Лемма 8.3.1. Пусть Г — гладкая, простая замкнутая кривая на плоскости, и пусть с. Обозначим через прообраз Г:

Относительно можно утверждать следующее.

1. Если точка с находится строго внутри Г, то также является гладкой, простой замкнутой кривой. Внутренность взаимно однозначно соответствует внутренности Г (рис. 8.14).

2. Если точка с лежит на кривой Г, то в этом случае имеет вид гладкой восьмерки. Каждая из внутренних областей (лепестки восьмерки) взаимно однозначно соответствует внутренней области Г (рис. 8.15).

Доказательство. Идея доказательства проста, но детали несколько техничны. Проведем доказательство для случая, когда Г — окружность.

1. Пусть с содержится строго внутри Г, как показано на рис. 8.14. Рассмотрим любую точку . Обозначим через t аргумент комплексного числа , то есть

Рис. 8.14. для с внутри Г

Квадратные корни из равны По мере того как движется по Г, точки и —w перемещаются по верхней и нижней половине соответственно. Лучи, направленные из 0 в заполняют область внутри и соответствие между внутренностью Г и является взаимно однозначным.

2. Если точка с принадлежит контуру Г, как изображено на рис. 8.15, то когда движется по Г, точка движется по замкнутой петле — границе одного из лепестков восьмерки. Лучи, направленные из 0 в заполняют область внутри этого лепестка, и соответствие между внутренностью Г и этим лепестком является взаимно однозначным. Второй лепесток, не пересекающийся с первым, за исключением точки 0, прочерчивается точкой —w, и его внутренность также находится во взаимно однозначном соответствии с внутренностью Г.

Рис. 8.15. для с на Г

Теорема 8.3.4. Пусть М — множество Мандельброта.

1. Для каждой точки с G ЛЛ соответствующее ей множество Жюлиа связно.

2. Для каждой точки соответствующее множество Жюлиа вполне несвязно и является на самом деле канторовъш множеством.

Доказательство.

1. Предположим, что последовательность ограничена. В первую очередь, мы покажем, что заполняющее множество Жюлиа есть пересечение вложенной последовательности замкнутых областей, то есть множеств, которые являются объединениями простых замкнутых кривых и областей, ограниченных ими.

Пусть — окружность достаточно большого радиуса, содержащая все точки причем точки лежат внутри а точки вне при итерировании стремятся к

Точка с находится внутри так как . Пусть По лемме отображает внутреннюю область во внутреннюю область . В частности, так как находится внутри то с лежит внутри равно как и внутри

Продолжим итерацию этого процесса. Пусть На каждом шаге точка с попадает внутрь так как находится внутри а это означает, что находится внутри и так далее до тех пор, пока окончательно не попадет во внутреннюю область, ограниченную Это позволяет применять лемму на каждом шаге, что и обеспечивает возможность итерирования (рис. 8.16).

Положим (внутренность ) По построению, каждая точка вне при итерировании стремится к Из этого следует, что область притяжения определяется как

Таким образом, заполняющее множество Жюлиа есть множество К. Множество Жюлиа является границей и следовательно, границей К.

Связность следует из топологических соображений. Рассмотрим вложенную последовательность компактных, связных множеств, чьи дополнения связны. Их пересечение обладает теми же тремя свойствами. Более того, граница этого пересечения связна. Так как последовательность множеств обладает вышеуказанными свойствами, то множества связны.

2. Предположим, что последовательность не ограничена. Мы знаем, что в этом случае

Пусть — окружность достаточно большого радиуса, причем:

а) лежит внутри

б) все точки вне итерируются к

в) существует такое, что:

Рис. 8.16. Сжатие на связном множестве Жюлиа

Начнем с того же, что и при доказательстве части 1 теоремы, предположив, что Эта процедура работает до тех пор, пока мы не достигаем и не сталкиваемся с точкой с на кривой а не внутри . В этом месте мы используем вторую часть леммы 8.3.1, где говорится, что имеет вид восьмерки, а множество Жюлиа содержится в объединении двух внутренних областей. Так как каждая из этих областей отображается на полную внутренность каждая должна содержать непустое подмножество . В результате мы приходим к выводу, что множество должно быть несвязным.

После прохождения множества представляют собой объединения восьмерок. Каждая восьмерка порождает еще две восьмерки на следующем шаге. На каждом шаге окружено восьмерками для этого шага (рис. 8.17).

В результате получаем, что имеет бесконечно много компонент. Более того, верно и то, что каждая из этих компонент есть на самом деле одна-единственная точка, что и делает вполне несвязным. Для доказательства этого надо провести еще дополнительный анализ. Наиболее просто это делается в случае достаточно большого с. Доказательство для можно найти в [14], а для и 2,444 - в [11].

Кроме того, в этом случае является еще и совершенным множеством, то есть оно замкнуто и не имеет изолированных точек. Таким образом, обладает всеми требуемыми свойствами, чтобы считать его пылью Кантора, а именно, оно компактно, вполне несвязно и совершенно (когда ).

Роль критической орбиты.

Возможно, что значимость выбора орбиты в определении множества Мандельброта ускользнула от внимания читателя. Точка — это единственное значение , для которого и орбита точки 0 называется критической орбитой. Причина, по которой мы выделяем эту орбиту, заключается в том, что она является единственной, для которой восьмерки появляются регулярным образом, как это требуется в доказательстве части 2 теоремы 8.3.4.

Разложение в ряд Тейлора функции в окрестности любой точки имеет вид:

Если то является двулистным отображением в малой окрестности (за исключением самой точки ). Этот факт объясняет поведение, описанное в части 2 леммы 8.3.1, а именно, что имеет вид восьмерки, если . Если же , то является взаимно однозначным отображением в малой окрестности и мы не получаем никаких восьмерок.

Периоды и обрамление.

Доминирующей фигурой в множестве Мандельброта является большая кардиоида. Внутренность этой кардиоиды соответствует точкам с, для которых множество Жюлиа для имеет притягивающую неподвижную точку. Это обьясняется следующим образом.

Рис. 8.17. Сжатие на вполне несвязном множестве Жюлиа

Если есть притягивающая неподвижная точка, то

и

Граница таких точек удовлетворяет или

Уравнение принимает вид

которое описывает большую кардиоиду, когда в изменяется в пределах (см. упр. 1 в конце параграфа). Таким образом, границей притягивающих неподвижных точек является кардиоида, и притягивающие неподвижные точки лежат внутри нее. Заметим, что по оси кардиоида располагается от —3/4 до 1/4, что соответствует той части орбитной диаграммы (рис. 6.9), где существует только одна ветвь.

Если z является притягивающей периодической точкой периода 2, то она есть неподвижная точка и поэтому

Это уравнение решается разложением на множители:

Решения — это просто неподвижные точки . Пусть — решения уравнения:

Так как они являются точками периода 2 для

И

Из этого следует, что

а также

Произведение двух решений уравнения (8.4) равно свободному члену этого уравнения, так что получаем

Условие для производной в притягивающей периодической точке:

дает

Рис. 8.18. Периоды обрамлений

Таким образом, значения с, для которых существуют периодические притягивающие точки периода 2 в множестве Жюлиа, лежат внутри круга . Отметим, что по оси х этот круг расположен от —5/4 до —3/4, что соответствует той части орбитной диаграммы, где она имеет две ветви.

На рис. 8.18 изображены некоторые участки (иногда называемые обрамлением) множества Мандельброта, соответствующие существованию притягивающих периодических точек различных периодов. Орбитная диаграмма (рис. 6.9) говорит о том, что происходит на вещественной оси множества Мандельброта. Каждая бифуркация соответствует новому обрамлению, которое пересекает ось х, и период в этом случае соответствует числу ветвей орбитной диаграммы.

Установить связь периодов с обрамлениями для периодов, больших чем 2, аналитическими методами затруднительно, если вообще возможно.

Задача экспериментального определения периодов для притягивающих периодических точек упрощается с помощью следующего результата [11, п. 3.4]. Именно, если есть притягивающая периодическая точка для полинома, то существует критическое значение, которое лежит в области притяжения . В случае этим критическим значением является точка 0. Для данного обрамления мы обычно можем определить периоды, хотя иногда это и не совсем просто. Для этого мы начинаем с тщательного построения изображения множества Мандельброта и находим аппроксимацию центра (значение с) определенного обрамления. Затем мы вычисляем определенный участок орбиты и пытаемся определить по ее асимптотическому поведению значение периода. Для значений с, близких к границе, анализ вычислений становится затруднительным (см. ниже упр. 3).