9.3. Срединное смещение

Возникновение метода случайного срединного смещения, применяемого как для моделирования, так и для конструктивного доказательства существования броуновского движения, восходит к работам Винера, выполненным в 20-х годах. Он может показаться несколько более сложным по сравнению с рассмотренным выше методом суммирования гауссовских случайных чисел. Однако, этот метод необходим, когда фрактальная кривая должна проходить через заданные точки — своего рода фрактальная интерполяция. Метод также обобщается на случай двух и более измерений, то есть на случай n-мерных броуновских движений.

В следующем алгоритме реализация вычисляется на диадических рациональных числах, то есть в точках интервала [0,1]. Реализация строится последовательно в конечных точках 0 и 1, затем в 1/2, потом и так далее, причем таким образом, что закон дисперсии для приращений (9.3) выполняется для этих точек. Первая и вторая итерации представлены на рис. 9.7. Параметр а выбирается заранее и просто определяет масштаб по вертикальной оси, не воздействуя на фрактальную размерность реализации.

Рис. 9.7. Случайное срединное смещение: шаги 1 и 2

В тексте программы каждое появление буквы g в формуле означает новый запуск генератора гауссовских случайных чисел с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Алгоритм 9.3.1. (СРЕДИННОЕ СМЕЩЕНИЕ I)

Назначение: аппроксимирует одномерное броуновское движение.

Вход:

Выход:

X (значения функции ),

Инициализация:

Шаги:

Теорема 9.3.3. Значения полученные в результате работы алгоритма срединного смещения (9.3.1), удовлетворяют закону дисперсии (9.3).

Доказательство. Начиная , получаем

Так как

то

Два слагаемых в правой части представляют собой независимые события, и поэтому

что согласуется с (9.3). Подобным же образом

На шаге 2 получаем

и следовательно,

Аналогично:

Продолжая таким же образом до n-го шага, получаем

и

Дисперсии, соответствующие интервалам вычисляются аналогично.

Итак, закон дисперсии (9.3) выполняется для всех интервалов вида . Осталось показать, что он выполняется также и для интервалов вида Без потери общности можно положить . Для упрощения введем Получаем

так что

то есть закон дисперсии (9.3) выполняется.

Алгоритм срединного смещения может быть обобщен для моделирования броуновского движения на плоскости и в пространстве. Изображение двумерного броуновского движения В(х, у) в виде броуновской поверхности приведено на рис. 9.6.

Алгоритм для двумерного броуновского движения представляет собой частный случай алгоритма 9.5.5, приведенного в п. 9.5. В качестве значения X в середине квадрата берется среднее по его вершинам плюс случайное смещение где д — нормальная случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а — величина смещения, которая зависит от текущего шага построения.

Рис. 9.8. Построение броуновской поверхности

Присваивания осуществляются в два этапа: квадраты со сторонами, параллельными осям координат, чередуются с квадратами, образованными диагоналями. Это поясняет рис. 9.8, где величины Х{А), Х(В), Х(С), X(D), Х(Е) и X(F) предполагаются уже заданными. На первом этапе мы определяем X(G) и Х(Н) по формулам

где

После этого приступаем ко второму этапу:

В граничных точках формулы изменяются: производится усреднение по имеющимся граничным точкам с добавлением соответствующих случайных смещений.