Упражнения 5.1.

1. Пусть Найти

2. Доказать, что размерность Минковского гладкой поверхности, заданной на прямоугольнике, равна (см. теорему 5.1.1).

3. Показать, что если А — конечное или счетное множество в то d-мера Хаусдорфа А равна нулю. (Для того чтобы -мера Хаусдорфа некоторого множества А равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы для каждого множество А допускало покрытие совокупностью шаров (зависящей от ), сумма -мер которых меньше е.)

4. Доказать, что d-мера Хаусдорфа отрезка [0,1] равна нулю при любом

5. Доказать, что d-мера Хаусдорфа квадрата равна нулю при любом

6. Проверить соотношение (5.9) из доказательства теоремы 5.1.4.

7. Проверить соотношение (5.10) из доказательства теоремы 5.1.4.

8. Пусть Е — компактное подмножество плоскости с размерностью Минковского а — взаимно однозначное аффинное преобразование, причем Доказать, что размерность Минковского множества Е также равняется

9. Пусть F — фрактал в Доказать, что

10. Пусть — непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в компакт причем удовлетворяют условию Липшица. Доказать, что размерности Минковского множеств равны.