2.3. Пыль Кантора

Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом (Henry Smith) в 1875 году или еще ранее. Это множество хорошо известно студентам из курса математического анализа как пример множества нулевой меры Лебега [41], чья мощность равна мощности континуума [0,1]. Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества.

Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3,2/3). На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 2.20) последовательность множеств:

Рис. 2.20. Построение пыли Кантора

Предельное множество С, которое представляет собой пересечение множеств , называется классической пылью Кантора. В дальнейшем мы будем называть его просто канторовой пылью.

Свойства канторовой пыли.

1. Канторова пыль есть самоподобный фрактал размерности

так как соотношение выполняется при .

2. Канторова пыль не содержит интервалов положительной длины. Это очевидно из построения.

3. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1. Чтобы показать это, рассмотрим следующее доказательство. Длина первого интервала, который мы выкинули, составляет 1/3.

Чтобы получить мы выкинули два интервала, каждый длиной . На следующем шаге мы выбросили интервалов, каждый длиной , и т. д. Таким образом, сумма длин удаленных интервалов S составляет:

Но это выражение можно переписать в виде:

и с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, а именно,

мы получаем:

Можно предположить, что если в С что-нибудь и осталось после удаления всех этих интервалов, то, наверное, не очень много. Однако это не так, что подтверждается следующим свойством.

4. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки [0,1] и [0,2] — равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. Взаимно однозначное соответствие в этом случае задается отображением , где .

Прежде чем приступить к доказательству основной теоремы о мощности множества Кантора, вспомним, как представить точку отрезка [0,1] в системе счисления с основанием . Разобьем отрезок [0,1] на N равных интервалов, каждый длины . Пронумеруем эти интервалы следующим образом: . Если оказалось, что точка принадлежит интервалу с номером 5, то положим Затем разобьем этот интервал на N новых интервалов, каждый длины . Пронумеруем эти интервалы, как и раньше:

Если точка принадлежит новому интервалу с номером 3, то положим . Продолжая таким образом, получим бесконечную последовательность причем каждое значение определяет интервал, содержащий на шаге процесса разбиения. В результате, число может быть представлено бесконечной последовательностью:

и каждое такое представление соответствует некоторой точке отрезка [0,1]. Кратко его записывают следующим образом:

и называют представлением х в системе счисления с основанием N или в -ичной системе. Очевидно, запись числа в десятичной системе счисления, которой мы привыкли пользоваться, является частным случаем данного определения.

Обратим внимание на несколько математических аспектов, требующих особого рассмотрения. Во-первых, некоторые числа имеют более одного -ичного представления. Это числа вида , где j и k — положительные целые. Для таких чисел можно указать два -ичных представления: одно оканчивается всеми нулями, а другое — всеми . Например, в двоичной системе может быть представлено двумя способами:

и

Любое число вида, отличного от записывается в -ичной системе счисления единственным образом. Также мы оставили без ответа вопрос, соответствует ли произвольное -ичное представление единственному . Этих вопросы решаются точно также, как и в случае обычного десятичного представления.

Теорема 2.3.2. Мощность множества Кантора С равна мощности континуума [0,1].

Доказательство. Нам необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из С и точками отрезка [0,1]. Для этого нам потребуется рассмотреть двоичное (по основанию 2), а также троичное (по основанию 3) представления точек отрезка [0,1].

Для того чтобы избежать двусмысленности в случае, когда точка имеет два двоичных или троичных представления, мы будем всегда выбирать то представление, которое заканчивается всеми единицами в двоичном случае и всеми двойками в троичном.

Замечаем, что точка попадает в множество Кантора С тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении отсутствуют единицы, то есть когда в нем присутствуют только нули и двойки. Тогда искомое соответствие точек из С с точками отрезка [0,1] осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении х на единицы. Полученное таким образом двоичное представление определяет некоторое вещественное число у. Например, если есть:

то полагаем

Описанная процедура определяет взаимно однозначное соответствие между .

5. Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Эти понятия объясняются в главе 3. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример.