8.5. Проблема Кэли

В 1879 году сэр Артур Кэли поставил задачу итерирования комплексных функций которая позднее стимулировала исследования Гастона Жюлиа по проблемам теории множеств, названных теперь его именем. Свой знаменитый мемуар [25] по этой тематике Жюлиа опубликовал в 1918 году. Проблема Кэли заключается в исследовании сходимости классического алгоритма Ньютона нахождения кубических корней, но при условии, что вещественные числа заменяются на комплексные. Заинтересованный читатель может найти дальнейшие сведения в кните Пайтгена и Рихтера [35].

Метод Ньютона для нахождения вещественного корня заключается в следующем. Выберем начальное приближение вычислим точки

и найдем предел Предполагается, что существуют и непрерывны в окрестности нуля, скажем, при . Если находится достаточно близко к с и если , то (упр. 6 п. 3.3):

Для нули равны кубическим корням из 1, и итерации Ньютона принимают вид:

Кэли предложил исследовать поведение этих итераций для комплексных

Имеются три кубических корня из 1, а именно, Область притяжения для корня есть множество

Кэли поставил задачу описания областей

Уравнение (8.5) является результатом итерирования функции

Нули являются неподвижными точками и так как

они сверхпритягивающие. В случае, когда является полиномом, например, функция Ньютона есть рациональная функция от z, то есть равна частному полиномов. В п. 8.1 мы определили множество Жюлиа для полинома как границу множества точек, которые стремятся к при итерировании. Множество Жюлиа для рациональной функции от z определяется иначе, чем для полиномов. Один из способов — считать множеством Жюлиа замыкание множества отталкивающих точек. Как мы уже видели в теореме 8.2.2, эти определения совпадают в случае полиномов. Однако в случае рациональных функций они различаются.

Как и в случае вещественных итераций, если начальная точка находится достаточно близко к корню , то ньютоновские итерации сходятся к этому корню. Таким образом, каждая область содержит окрестность Но какую часть комплексной плоскости занимает и какова ее геометрия? Ответ на этот вопрос крайне нетривиален.

Перед исследованием проблемы Кэли для кубических корней рассмотрим соответствующую задачу для квадратных корней. В этом случае и ньютоновские итерации имеют вид:

Если о лежит в правой полуплоскости, то при а если лежит в левой полуплоскости, то при (упр. 1 в конце параграфа). Таким образом, за исключением начальных точек которые равноудалены от двух корней, сходится к корню, ближайшему к . Если лежит на мнимой оси, то в этом случае итерации не сходятся (см. упр. 2 в конце параграфа).

По аналогии со случаем можно предположить, что в случае итерированные значения вычисленные по формуле (8.5), сходятся к кубическому корню, ближайшему к если такой ближайший корень существует.

Рис. 8.19. Является ли это решением задачи Кэли?

Таким образом, ответ на вопрос Кэли предположительно выглядит так, как показано на рис. 8.19. Как ни странно, это предположение оказывается неверным.

Теорема 8.5.6. Пусть — функция Ньютона для Тогда множество Жюлиа для g имеет вид:

то есть является границей каждой из областей притяжения для трех притягивающих неподвижных точек

Доказательство. См. [35, с. 96].

Рис. 8.20. Бассейны притяжения для кубических кот

Теорема 8.5.6 говорит нам о том, что ответ возможно, отличается от того, что изображено на рис начала координат точки на границе любой области имеют малые окрестности, пересекающиеся ровно с двумя. Но выражение (8.7) говорит о том, что в произвольна, ности каждой граничной точки любой из этих областей i находиться точки, принадлежащие всем трем областям, изображение трех бассейнов притяжения для дано на рис.

Иными словами, можно задать вопрос: как закрасить плос тремя красками, чтобы на границе каждой цветной области с ствовали точки двух других цветов, которые были бы расположи., произвольно близко? Ответ мы получим, раскрасив области притяжения для разными красками.