Глава 3. Множества и отображения

3.1. Предварительные сведения из теории множеств

Следующее изложение теории множеств в -мерном пространстве является обзорным и носит справочный характер. Большинство результатов приводится без доказательств. Подробное изложение можно найти в учебных пособиях по линейной алгебре, математическому анализу и теории множеств (см., например, [5] или [42]). Во многих случаях смысл используемых понятий интуитивно ясен и легок для понимания.

n-мерное векторное пространство Rn.

Обозначим через множество всех -мерных вещественных векторов:

с определенными на нем операциями векторного сложения и умножения на скаляр:

Понятие векторов в -мерном пространстве есть прямое обобщение хорошо знакомых одно-, двух-, и трехмерных векторов. В аналитической геомерии трехмерный вектор обычно представляют в виде где i, j, к — единичные ортогональные векторы.

Эта запись эквивалентна следующей:

то есть — вектор из

Евклидова норма и скалярное произведение.

Пусть . Евклидовой нормой вектора называют:

Евклидово расстояние между векторами х и у:

Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов из определяется следующим образом:

Отметим, что скалярное произведение можно выразить через нормы векторов следующим образом (упр. 2 в конце этого параграфа):

(3.2)

В курсе аналитической геометрии для векторов на плоскости и пространстве доказывается:

где в — угол между векторами х и у, . Очевидно, произведение ненулевых векторов х и у равно нулю тогда v только тогда, когда , то есть когда векторы х и у перпендикулярны.

Геометрическое понятие перпендикулярности векторов обобща ется на случай только вместо термина перпендикулярный обыч но используют термин ортогональный. В пространстве два ненулевых вектора х и у называются ортогональными, если

Из соотношения (3.3) немедленно следует (для векторов из ), что . Это неравенство справедливо и для векторов из пространства

Теорема 3.1.1 (Коши—Шварца). Если х и у — векторы из то

то есть

Доказательство. При у = 0 обе части неравенства обращаются в нуль, и утверждение теоремы тривиально. Рассмотрим случай Для любого вещественного числа А, рассмотрим функцию

Будучи суммой квадратов, не может принимать отрицательных значений. Учитывая, что — квадратичная функция А, она достигает своего минимума, когда то есть когда Рассматривая неравенство при указанном значении А, убеждаемся в справедливости утверждения теоремы.

Неравенство Коши-Шварца применяется очень часто. Докажем с его помощью неравенство треугольника для евклидова расстояния в пространстве .

Теорема 3.1.2 (неравенство треугольника). Евклидово расстояние удовлетворяет неравенству треугольника:

Доказательство. Рассмотрим следующее выражение:

Применяя неравенство Коши-Шварца ко второму слагаемому в последнем выражении, получим:

Таким образом, имеем:

Извлекая квадратный корень из обеих частей, приходим к утверждению теоремы.

Элементы и множества.

Подмножества пространства будем обозначать буквами Е, F, U и т. п. Если вектор содержится в множестве Е, будем писать . Если все векторы множества Е содержатся также в множестве F, то мы будем писать . Символ 0 используется для обозначения пустого множества (множества, не содержащего ни одного элемента). Заметим, что для любого множества Е всегда .

Равенство множеств.

Если множества Е и F содержат одни и те же элементы, то есть и , то мы говорим, что множества равны . Это определение содержательнее, чем может показаться на первый взгляд. Из него следует, что для доказательства равенства двух множеств Е и F необходимо показать, что .

Объединение и пересечение множеств.

Объединение двух множеств А и В есть множество всех точек, содержащихся либо в А, либо в В, либо и в А и в Б. Объединение некоторого (возможно, бесконечного) числа множеств X обозначается . Пересечение двух множеств А и В есть множество всех точек, содержащихся и в А и в В. Пересечение некоторого (возможно, бесконечного) числа множеств X обозначается .

Дополнение множества.

Формулы де Моргана. Дополнение множества А до множества X есть множество всех точек из X, не содержащихся в А, то есть

Рис. 3.1. Открытые шары в пространствах

Формулы де Моргана для произвольных множеств А, В и X в простейшем виде выглядят следующим образом:

Эти формулы распространяются на объединения и пересечения произвольного числа множеств:

Основные множества.

В дальнейшем изложении наиболее часто используются следующие множества:

вещественные числа (совпадает с ),

целые числа

числа

положительные элементы из

положительные элементы из

положительные элементы из

Открытое множество.

Открытым шаром в (рис. 3.1) называется множество:

Шар также называют -окрестностью точки Если для любого , где Е — подмножество существует такое , что , то множество Е называется открытым. Несложно проверить, что объединение открытых множеств также является открытым множеством и что любой открытый шар есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств также является открытым множеством.

Рис. 3.2. Векторная сумма множеств

Но пересечение бесконечного числа открытых множеств не обязательно является открытым. Рассмотрим, например, открытые интервалы в пространстве R. Их пересечение представляет собой одноточечное множество которое не является открытым.

Произведение и сумма множеств.

Прямым (топологическим) произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (х, у), где . Примером может служить рисунок к упр. 6 п. 2.3, на котором изображено (С — множество Кантора). Векторной суммой множеств А и В называется множество . Множество определяется как

Верхняя и нижняя грани множества.

Наименьшее число (возможно, ), большее либо равное любому элементу из Е С R, называется точной верхней гранью множества и обозначается Наибольшее число (возможно, ), меньшее либо равное любому элементу из , называется точной нижней гранью множества и обозначается Если наибольший (наименьший) элемент содержится в Е, то значение равно этому элементу. Такое множество, как открытый интервал не содержит ни наибольшего, ни наименьшего элементов. Тем не менее,

Рис. 3.3. Диаметр множества

Диаметр множества.

Диаметром множества (рис. 3.3) называется следующая величина:

Ограниченное множество.

Множество называется ограниченным, если оно имеет конечный диаметр, то есть если

Сходимость. Определение предела последовательности в пространстве аналогично соответствующему определению из курса математического анализа. Именно:

или просто если:

для каждого существует такой номер N, что при выполняется неравенство или, другими словами, если:

Рис. 3.4. Множество: а) замкнутое; б) не являющееся ни замкнутым, ни открытым; в) открытое.

Замкнутое множество.

Множество называется замкнутым, если для любой последовательности точек из А, сходящейся к ее предел также принадлежит (рис. 3.4). Заметим, что пустое множество , также как и все пространство одновременно и замкнуто, и открыто. Ни одно другое множество в таким свойством не обладает. Легко показать, что множество является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение до замкнуто. Более того, пересечение любого числа замкнутых множеств, а также объединение конечного числа замкнутых множеств, замкнуто. Доказательство этих свойств следует из формул де Моргана и теорем о пересечении и объединении открытых множеств.

Замыкание и внутренность множества.

Замыкание А множества есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А. Замыкание А является замкнутым множеством. Внутренность множества А, обозначаемая есть объединение всех открытых множеств, входящих в А. Внутренность является открытым множеством.

Плотное подмножество.

Говорят, что множество В плотно в А, если В С А С В. Например, множество Q рациональных чисел плотно в множестве R вещественных чисел.

Граница множества.

Граница множества А обозначается и определяется следующим образом:

Компактное множество.

Множество называется компактным, если оно замкнуто и ограничено. Предостережение: это определение компактного множества можно использовать только для подмножеств пространства . В прил. А.1 дается более общее определение.

Изолированные точки. Совершенное множество.

Точка х множества А есть изолированная точка этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества А. Множество называется совершенным, если оно замкнуто и не содержит изолированных точек. Отрезок [0,1] — пример совершенного множества. Все разновидности множества Кантора также являются совершенными множествами.

Связное множество. Компоненты.

Множество А есть связное множество, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых множеств причем . Компонента множества А есть связное подмножество А, которое не содержится ни в одном другом связном подмножестве А.

Вполне разрывное множество.

Говорят, что множество А вполне разрывно (вполне несвязно), если наибольшие связные подмножества А представляют собой одноточечные множества, другими словами, если все компоненты А — одиночные точки. Все множества Кантора вполне разрывны.

Здесь уместно напомнить, что множество Кантора характеризуется тремя свойствами: оно компактно, совершенно и вполне разрывно.