А.5. Размерность Хаусдорфа

Построение размерности Хаусдорфа имеет некоторое сходство с конструкцией размерности Минковского Начнем с формулы для d-меры шара в (см. (5.1)), а затем аппроксимируем d-меру произвольного множества А суммой -мер шаров, которые покрывают А (рис. 5.1). В отличие от п. 5.1, теперь мы будем рассматривать покрытия множества А r-шарами, где . Множество А в теореме 5.1.2 имеет положительную d-меру Минковского при d = 1/2, но обладает нулевой d-мерой Хаусдорфа при любом d > 0.

Рассмотрим последовательность шаров с радиусами которые покрывают А. Мы аппроксимируем d-меру Хаусдорфа множества А суммой . Введем

где точная нижняя грань ищется по всем таким покрытиям множества А.

Определим -мерную внешнюю меру множества А как

Предел в данном определении всегда существует, так как убывает при

Вот некоторые свойства Доказательства первых двух мы оставляем читателю в качестве упражнений.

1. Если , то

2. субаддитивна, то есть:

3. Если , то совпадает с внешней мерой в смысле Лебега. Это утверждение не справедливо, если . Тем не менее, d-мера множества равна нулю в том и только в том случая, если внешняя мера Лебега равна нулю [22].

Теорема А.5.16. Любому множеству соответствует единственное число d, называемое размерностью Хаусдорфа множества А, для которого

Это число, обозначаемое , удовлетворяет соотношению

Доказательство. Покажем, что

Если это доказано, то можно определить

Как следует из , если , мы должны получить а если , то .

Докажем справедливость (А.10). Так как , то существует , для которого Мы знаем, что существует последовательность шаров радиусов покрывающая А, для которой

Введем Для

Устремляя получим .

Как и предполагалось, аналоги основных теорем и следствий п. 5.1 остаются справедливыми и для размерности Хаусдорфа. В частности, график гладкой функции одной или двух независимых переменных имеет размерность Хаусдорфа или соответственно. Размерность Хаусдорфа самоподобного множества с коэффициентами подобия удовлетворяет соотношению:

причем

если Размерность Хаусдорфа остается неизменной при переходе к эквивалентной метрике.

Основное отличие размерности Минковского от размерности Хаусдорфа состоит в следующем. Мы доказали в теореме 5.1.2, что размерность Минковского множества

равна . Это множество счетное и может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с положительными целыми числами. Мы уже говорили в п. 5.1, что размерность Хаусдорфа любого счетного множества равна что мы сейчас и докажем.

Теорема А.5.17. Пусть А - компактное счетное множество в , скажем,

Тогда

Доказательство. Из упр. 5.1.3 следует, что -мера Хаусдорфа множества А, равна нулю при любом Таким образом, размерность Хаусдорфа множества А,

равна нулю.

Упражнения 1.5.

1. Рассмотрим треугольник Серпинского S. Пусть — фрактальная размерность S. Оцените d-меру Хаусдорфа множества S. Для этого найдите предел суммы d-мер шаров, покрывающих n-ую итерацию СИФ, соответствующей 5.

2. Пусть Е — компактное подмножество плоскости, обладающее размерностью Хаусдорфа — взаимно однозначное аффинное преобразование, причем Докажите, что Е также имеет размерность Хаусдорфа

3. Пусть F — любое фрактальное множество в Докажите, что

4. Докажите, что если — взаимно однозначное непрерывное отображение из компактного множества на компактное множество причем как , так и удовлетворяют условию Липшица, то размерности Хаусдорфа множеств совпадают.