Упражнения 4.1.

1. Игра «Хаос» состоит в следующем. Положим и установим фишку в произвольной начальной точке Бросим игральную кость. Если выпало 1 или 2, передвинем фишку на половину расстояния между в направлении Если выпало 3 или 4, передвинем фишку на половину расстояния между в направлении Если выпало 5 или 6, передвинем фишку на половину расстояния между в направлении Назовем новую точку Повторяя описанную процедуру снова и снова, получим последовательность точек на плоскости, каждая из которых находится на полпути до случайно выбранной вершины. Отбросим несколько начальных точек последовательности, допустим первые 100 точек. Оказывается, оставшиеся точки заполняют ковер Серпинского.

Показать, что игра «Хаос» есть не что иное, как рандомизированный алгоритм для получения ковра Серпинского, описанный в этом параграфе.

2. Найти аффинные преобразования системы итерированных функций, аттрактор которой изображен на рис. 4.3. Смоделировать СИФ на компьютере с помощью детерминированного или рандомизированного алгоритма.

3. Найти аффинные преобразования СИФ, аттрактор которой описан в упр. п. 2.1.

4. Построить вручную третью итерацию ковра Серпинского (см. рис. 2.5). Указать, какому из отображений соответствует та или иная треугольная область.