6.4. Периодичность Шарковского

Диаграмма орбит (рис. 6.9) изображает притягивающие периодические орбиты для . Обратите внимание, что на некоторых участках диаграмма чрезвычайно разрежена. Например, на участке около видна белая полоса и притягивающие орбиты имеют период 3. Вопрос, который следует задать, звучит так: существуют ли другие периодические орбиты? Они, эти орбиты, по необходимости должны быть отталкивающими, так как на диаграмме мы наблюдаем только притягивающие орбиты. В связи с этим оказывается, что наличие орбиты периода 3 означает наличие орбит с периодами . Далее в этом параграфе, когда мы говорим, что орбита имеет период , имеется в виду наименьший период .

Таблица 6.2. Сверхпритягивающие точки для

Рассматриваемая ниже теория применима к вещественнозначным функциям, отображающим интервал в себя. Важный случай орбит с периодом 3 (теорема 6.4.1 ниже) был рассмотрен в 1975 году Т. Й. Ли и Джеймсом Йорком [29]. Достаточно неожиданно их результат оказался частным случаем теоремы А. Н. Шарковского (теорема 6.4.2), опубликованной в 1964 году в Украинском Математическом Журнале, и поэтому неизвестной на Западе. Мы приводим здесь только доказательство для случая периода 3 вследствие его элементарности и краткости. Общая теорема Шарковского использует те же самые элементарные рассуждения, но занимает больше места.

Лемма 6.4.1. Пусть — вещественнозначная непрерывная функция, заданная на отрезке . Предположим, что содержит отрезок Тогда существует неподвижная точка на отрезке I.

Доказательство. Рассмотрим . Если или то а или b является неподвижной точкой. Рассмотрим противоположный случай. Пусть существуют точки принадлежащие отрезку такие, что Для этих точек Из теоремы о среднем значении из курса математического анализа следует, что существует такая точка , лежащая между что

Рис. 6.10.

Эта точка является неподвижной точкой и принадлежит .

Лемма 6.4.2. В условиях леммы 6.4-1 существует такой замкнутый подинтервал , что f отображает I на J, то есть

Доказательство. Пусть . Если , положим Если то положим . В обоих случаях

Теорема 6.4.1. Пусть I — конечный или бесконечный интервал в R. Предположим, что отображение непрерывно. Если существует точка отображения периода 3, то существуют также точки периода

Доказательство. Пусть сначала . Рассмотрим орбиту с периодом . Без потери общности можно предположить, что Возможны два случая: либо либо Рассмотрим случай . Другой случай рассматривается аналогично. Заметим, что если (рис. 6.10).

Идея доказательства состоит в следующем. Рассмотрим последовательность отрезков

причем все из них, кроме лежат в лежит в Если нам удастся построить такую последовательность, то . Из леммы 6.4.1 следует, что существует неподвижная точка отображения на отрезке и, следовательно, в [b, с]. Отметим, что а высшие итерации принадлежат . Из этого следует, что является точкой периода отображения

Для того чтобы построить отрезки воспользуемся леммой 6.4.2 та раз. Так как , то существует такой отрезок , что . Таким же образом строится отрезок , лежащий внутри , такой, что Продолжая эту процедуру, получаем систему отрезков, вложенных друг в друга:

как было записано выше. Так как то существует такой отрезок что . И, наконец, так как , то существует такой отрезок , что . Это завершает доказательство для случая .

Для случая заметим, что содержит и по лемме имеет неподвижную точку в .

Для сначала заметим, что существует такой отрезок что . Поэтому и имеет неподвижную точку в I. Эта неподвижная точка является точкой периода 2 для

Теорема 6.4.2 (Шарковского). Пусть I — конечный или бес конечный интервал в R. Предположим, что отображение непрерывно. Если существует точка периода , то существуют также точки периода к для каждого целого положительного к, из следующего списка (называемого упорядочением Шарковского):

Доказательство. Доказательство можно найти в [43, 11].

Очевидно, что доказательство для периода 3 является частным случаем теоремы Шарковского, так как число 3 — первое в списке Шарковского. Из рассмотрения приведенного списка можно сделать и другие интересные выводы. Например, число различных периодов для орбит конечно только в том случае, когда периоды выражаются числами

для некоторого значения . Если же существует орбита нечетного периода, большего единицы, то число различных периодов бесконечно.

Следует отметить, что теорема Шарковского применима только к вещественнозначной функции, заданной на действительном интервале. Если, к примеру, функция задает вращение каждой точки окружности на угол орбиты всех точек имеют один и тот же период п. В этом случае никаких других периодов не существует, и, следовательно, теорема Шарковского не применима.