Приложение А. Дополнительные сведения из анализа

А.1. Полнота и компактность

Критерий Коши и полнота.

Пусть (X, d) — метрическое пространство (см. п. 3.2). Последовательность из X сходится к в -метрике, если последовательность чисел сходится к нулю в обычном смысле, то есть:

Сходимость последовательности можно установить, не вычисляя предел при помощи критерия Коши. Именно, последовательность сходится в том и только в том случае, если для каждого существует такой номер , что из следует .

Такая последовательность называется последовательностью Коши. Например, если X — открытый интервал (0,1) в R и

то последовательность удовлетворяет критерию Коши (см. упр. 1 в конце параграфа). Ее предел содержится в R, но не принадлежит X. Таким образом, критерий Коши указывает на существование предела даже в том случае, когда он не принадлежит исходному множеству.

Метрическое пространство (X,d) называется полным, если любая последовательность Коши из X сходится к некоторой точке из X. Можно показать, что пространство с евклидовой метрикой является полным. Кроме того, подмножество X пространства с евклидовой метрикой полно тогда и только тогда, когда X замкнуто. Более подробно полнота рассматривается в [5] и [42].

Равномерная сходимость.

Пусть — последовательность функций, определенная на подмножестве А пространства Будем говорить, что последовательность сходится поточечно к если для каждого

Поточечная сходимость не гарантирует непрерывность функции даже если функции непрерывны на А. Например, если

то

то есть предельная функция разрывна.

Предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией в том случае, если последовательность сходится к равномерно, то есть если для каждого существует такой номер не зависящий от , что из для всех следует

Такому определению сходимости соответствует разновидность критерия Коши, называемая критерием Коши равномерной сходимости. Именно, последовательность функций определенных на множестве А, равномерно сходится на множестве А в том и только в том случае, если для каждого существует такой номер не зависящий от , что из для всех следует

Критерий Коши равномерной сходимости можно сравнить с критерием Коши для последовательностей в метрическом пространстве. Пусть X — множество всех ограниченных непрерывных функций на А. Зададим норму на X:

и расстояние между элементами

Можно показать, что является метрикой в X и что (X, d) представляет собой полное метрическое пространство. Более того, последовательность функций из X сходится к в d-метрике в том и только в том случае, если сходимость равномерная. Как мы видим, критерий Коши равномерной сходимости есть в точности переформулировка критерия Коши для последовательностей в (X, d). Основное утверждение, заключающееся в том, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций сам есть непрерывная функция, эквивалентно полноте пространства (X,d). Доказательства приведенных выше утверждений и дальнейшую информацию о равномерной сходимости читатель может найти в [5] или [42].

Компактные метрические пространства.

Подмножество пространства с евклидовой метрикой компактно в том и только в том случае, если оно замкнуто и ограничено. В случае произвольного метрического пространства множество называется компактным, если из каждой последовательности точек из X можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке .

Это определение эквивалентно данному выше, если

Достаточно легко показать, что если компактно, то оно является полным и ограниченным. В общем случае для доказательства обратного утверждения необходимо условие полной ограниченности. Метрическое пространство называется вполне ограниченным, если для любого множество X содержится в объединении конечного числа шаров радиуса . Напомним, что множество X называется ограниченным, если X содержится в одном шаре некоторого радиуса . Теорема суммирует все вышесказанное (см. [21, 44]).

Теорема Метрическое пространство является компактным в том и только в том случае, если оно полное и вполне ограниченное.

Упражнения 1.1.

1. Покажите, что последовательность в R является последовательностью Коши.

2. Пусть — эквивалентные метрики в X. Покажите, что если есть последовательность Коши в -метрике, то она является последовательностью Коши в метрике и наоборот.

3. Пусть — последовательность Коши в метрическом пространстве (X,d). Покажите, что существует константа такая, что